Exercício 8: Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
Passo 1
A questão pede o volume gerado pela rotação da região no plano limitada por x = y³, x = 0, y = 1 e y = 2 em torno do eixo y; o conteúdo que vamos usar é o método dos discos (ou anéis), pois cada secção perpendicular ao eixo y gera um círculo de raio dado por x = y³.
Passo 2
Pelo método dos discos, escrevemos o volume como
onde R(y) é a distância da curva mais distante ao eixo de rotação. Aqui R(y) = y³.
Passo 3
Substituindo R(y) na fórmula, obtemos
Passo 4
Agora calculamos a integral. Sabemos que
. Logo,
Passo 5
Simplificando, temos
, então