Exercício 8: Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas x=y^3, x=0, y=1 e y=2 em torno do eixo y.
V=pi integral1^2(y^3)^2 d y

Passo 1

A questão pede o volume gerado pela rotação da região no plano limitada por x = y³, x = 0, y = 1 e y = 2 em torno do eixo y; o conteúdo que vamos usar é o método dos discos (ou anéis), pois cada secção perpendicular ao eixo y gera um círculo de raio dado por x = y³.

Passo 2

Pelo método dos discos, escrevemos o volume como
V = pi integraly=1^y=2 [R(y)]^2 , dy
onde R(y) é a distância da curva mais distante ao eixo de rotação. Aqui R(y) = y³.

Passo 3

Substituindo R(y) na fórmula, obtemos
V = pi integral1^2 (y^3)^2 , dy = pi integral1^2 y^6 , dy

Passo 4

Agora calculamos a integral. Sabemos que integral y^6 , dy = tfracy^77. Logo,
V = pi l[ y^77 r]1^2 = pi l( 2^77 - 1^77 r)

Passo 5

Simplificando, temos 2^7 = 128, então
V = pi cdot 128 - 17 = 127pi7

Resposta

V = dfrac127pi7

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