(Meyer, 1987: C04E14) A porcentagem de álcool ( 100 X ) em certo composto pode ser considerada uma variável aleatória, onde X, 0<X<1, tem a seguinte f d p : f(x)=20 x^3(1-x), 0<x<1.
(a) Estabeleça a expressão da função de probabilidade acumulada e esboce seu gráfico.
(b) Calcule P(X <= 2 / 3).
(c) Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de álcool. Especificamente, se 1 / 3<X<2 / 3, o composto se vende por C1 por galão; caso contrário, ele se vende por C2 por galão. Se o custo for C3 dólares/galão, calcule a distribuição de probabilidade do lucro líquido por galão.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X em (0,1) com densidade
f(x)=20,x^3(1-x), 0<x<1
Precisamos (a) obter a função de distribuição acumulada F(x) e esboçar seu gráfico, (b) calcular Pl(X<= 2/3r) e (c) definir a distribuição de probabilidade do lucro líquido por galão, sabendo que o preço de venda é C1 se 1/3<X<2/3 e C2 caso contrário, com custo C3.

Passo 2

Para encontrar F(x)=P(X<= x) integramos f(t) de 0 a x.
F(x)=integral0^x20,t^3(1-t),dt =20integral0^x(t^3-t^4),dt =20l[t^44-t^55r]0^x =5x^4-4x^5
Como X só varia em (0,1), a função de distribuição completa é
F(x)= 0,&x<=0, 5x^4-4x^5,&0<x<1, 1,&x>=1

Passo 3

O gráfico de F(x) sai de (0,0), cresce com inclinação inicial pequena, depois mais acentuada, e novamente amortece até atingir (1,1). É uma curva suave em forma de “S”, convexa para x pequeno e côncava perto de x=1.

Passo 4

Calculamos
Pl(X<=tfrac23r)=Fl(tfrac23r) =5l(tfrac23r)^4-4l(tfrac23r)^5 =5cdot1681-4cdot32243 =8081-128243 =240-128243 =112243

Passo 5

Definimos o lucro líquido por galão como
Y = C1 - C3, &se tfrac13<X<tfrac23, C2 - C3, &caso contrário á
Então
Pl(Y=C1-C3r) = Pl(tfrac13<X<tfrac23r) =Fl(tfrac23r)-Fl(tfrac13r)
Já temos F(2/3)=112/243. Também
Fl(tfrac13r) =5l(tfrac13r)^4-4l(tfrac13r)^5 =5cdot181-4cdot1243 =581-4243 =15-4243 =11243
Logo
Pl(Y=C1-C3r) =112243-11243 =101243, Pl(Y=C2-C3r) =1-101243 =142243

Resposta

F(x)=0 para x<=0;\quad
F(x)=5x^4-4x^5 para 0<x<1;\quad
F(x)=1 para x>=1.
P(X<=2/3)=112/243
A distribuição de Y é
Pl(Y=C1-C3r)=tfrac101243, Pl(Y=C2-C3r)=tfrac142243

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