Exercício 13. (ELJ 65) Seja
uma função de classe
que satisfaz, para todo
e
,
. Mostre que existe uma aplicação bilinear
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é
e homogênea de grau 2, ou seja,
Queremos mostrar que existe uma aplicação bilinear
tal que
Para isso vamos usar diferenciação em
até a segunda ordem e aproveitar que a segunda diferencial em
é bilinear.
Passo 2
Defina, para dado
, a função univariada
Pelo enunciado temos imediatamente
Dessa forma podemos calcular suas derivadas em
de dois modos: diretamente em
e usando a regra da cadeia para
.
Passo 3
Primeiro, pela expressão explícita,
Por outro lado, pela regra da cadeia e pela definição de diferencial de
,
e diferenciando de novo,
Portanto, para todo
,
Passo 4
Em particular, tomando
, obtemos
Como
é
, a aplicação
é bilinear e simétrica.
Passo 5
Basta então definir
Isso é claramente bilinear em
e, para
,
como queríamos.
Resposta
A aplicação
é bilinear e satisfaz
.