Exercício 13. (ELJ 65) Seja f: R^m R^n uma função de classe C^2 que satisfaz, para todo t in R e x in R^m, f(t x)=t^2 f(x). Mostre que existe uma aplicação bilinear B: R^m times R^m R^n tal que f(x)=B(x, x).

Passo 1

O enunciado diz que f:R^mtoR^n é C^2 e homogênea de grau 2, ou seja,
f(t x)=t^2,f(x)forall,tinR,,xinR^m
Queremos mostrar que existe uma aplicação bilinear
B:R^mtimesR^m;longrightarrow;R^n
tal que
f(x)=B(x,x)forall,xinR^m
Para isso vamos usar diferenciação em t até a segunda ordem e aproveitar que a segunda diferencial em 0 é bilinear.

Passo 2

Defina, para dado xinR^m, a função univariada
g(t)=f(t x),
Pelo enunciado temos imediatamente
g(t)=t^2,f(x)
Dessa forma podemos calcular suas derivadas em t de dois modos: diretamente em t^2f(x) e usando a regra da cadeia para f(t x).

Passo 3

Primeiro, pela expressão explícita,
g(t)=t^2,f(x)Longrightarrow g''(t)=2,f(x)
Por outro lado, pela regra da cadeia e pela definição de diferencial de f,
g'(t)=ddtf(t x)=Df(t x)l[xr],
e diferenciando de novo,
g''(t) =ddtl(Df(t x)[x]r) =D^2f(t x)l[x,xr]
Portanto, para todo t,
D^2f(t x)l[x,xr]=2,f(x)

Passo 4

Em particular, tomando t=0, obtemos
D^2f(0)l[x,xr]=2,f(x)
Como f é C^2, a aplicação
D^2f(0);:;R^mtimesR^m;longrightarrow;R^n
é bilinear e simétrica.

Passo 5

Basta então definir
B(x,y) =tfrac12,D^2f(0)l[x,yr]
Isso é claramente bilinear em (x,y) e, para y=x,
B(x,x) =tfrac12,D^2f(0)l[x,xr] =tfrac12,(2,f(x)) = f(x),
como queríamos.

Resposta

A aplicação
B(x,y)=tfrac12,D^2f(0)l[x,yr]
é bilinear e satisfaz f(x)=B(x,x).

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