integral e^x d x1+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral e^x1+e^2x,dx
Aqui vamos usar a técnica de substituição (u-substitution), aproveitando que a derivada de e^x aparece no numerador e o denominador é da forma 1+(e^x)^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x Longrightarrow du = e^x,dx
Com isso, a integral fica
integral e^x1+e^2x,dx = integral du1+u^2

Passo 3

Reconhecemos a integral padrão
integral du1+u^2 = arctan(u) + C,
pois a derivada de arctan(u) é 1/(1+u^2).

Passo 4

Voltando à variável original x, onde u = e^x, obtemos
integral e^x1+e^2x,dx = arctanl(e^xr) + C

Resposta

arctanl(e^xr) + C

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