Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty 1raizn+1-raizn

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty 1raizn+1-raizn
converge ou diverge.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pelo critério da divergência do termo geral e manipulação algébrica (racionalização).

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série racionalizando o denominador. Para isso, multiplicamos numerador e denominador por raizn+1+raizn:
1raizn+1-raizn = raizn+1+raizn(raizn+1-raizn)(raizn+1+raizn) = raizn+1+raizn(n+1)-n = raizn+1+raizn

Passo 3

Agora o termo geral da série é
an = raizn+1+raizn
Para que uma série sum an possa convergir, é necessário (mas não suficiente) que an to 0 quando n to infty. Vamos verificar:
limntoinfty an = limntoinfty (raizn+1 + raizn) = infty,
pois cada raiz cresce sem limite.

Passo 4

Como o termo geral an não tende a zero (na verdade tende a infinito), a série não pode convergir. Esse é o critério da divergência do termo geral: se limntoinftyan neq 0, então sum an diverge.

Resposta

A série diverge.

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