Exercício 13. Encontre a matriz P de mudança de base da base canônica S_{1}=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^{2} para base S_{2}=\{(2,3),(4,5)\}, a matriz Q de mudança de base de S_{2} para a base S_{1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar a matriz P de mudança de base da base canônica S_{1}=\{(1,0),(0,1)\} para a base S_{2}=\{(2,3),(4,5)\}.
  • Encontrar a matriz Q de mudança de base de S_{2} para S_{1}.
Dados fornecidos:
S_{1}=\{(1,0),(0,1)\}, \qquad S_{2}=\{(2,3),(4,5)\}.

Passo 2

Primeiro entendimento prático (sem mistério): cada vetor de S_{2} já está dado nas coordenadas canônicas (porque S_{1} é a base canônica). Então formamos a matriz M cujas colunas são esses vetores, isto é, escrevemos os vetores de S_{2} como colunas em relação à base S_{1}:
M=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}.
Explicação curta: a primeira coluna é (2,3) e a segunda é (4,5), ambas em coordenadas canônicas.]

Passo 3

Agora a relação entre coordenadas. Seja v um vetor qualquer e seja [v]_{S_{1}} o vetor de coordenadas de v na base canônica (ou seja, as coordenadas padrão), e [v]_{S_{2}} as coordenadas de v na base S_{2}. Se chamarmos
[v]_{S_{1}} = x,\qquad [v]_{S_{2}} = y,
então a combinação linear que representa v traz
v = \text{(colunas de }M)\cdot y = M y.
Mas também v em coordenadas canônicas é x. Logo
x = M y.
Dessa igualdade segue
y = M^{-1} x.
Isto mostra a interpretação das matrizes de mudança de base:
  • A matriz que transforma coordenadas de S_{1} para S_{2} (ou seja, que envia x=[v]_{S_{1}} para y=[v]_{S_{2}}) é P = M^{-1}.
  • A matriz que transforma coordenadas de S_{2} para S_{1} é Q = M.

Passo 4

Vamos calcular M^{-1}. Primeiro o determinante de M:
\det(M)=2\cdot 5 - 4\cdot 3 = 10-12 = -2.

Passo 5

Fórmula inversa para uma matriz 2\times2: para
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
temos
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=2, b=4, c=3, d=5. Aplicando:
M^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix}5 & -4 \\\\ -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} & 2 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Conferência rápida (verificação): multiplicando M^{-1}M obtemos a identidade:
\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} & 2 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
logo a inversa está correta. Portanto P=M^{-1} e Q=M são as matrizes de mudança de base pedidas.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2} & 2 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -1\end{pmatrix}
\n
Q=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}]

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