Exercício 13. Encontre a matriz P de mudança de base da base canônica S_{1}=\{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^{2} para base S_{2}=\{(2,3),(4,5)\}, a matriz Q de mudança de base de S_{2} para a base S_{1}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Encontrar a matriz P de mudança de base da base canônica S_{1}=\{(1,0),(0,1)\} para a base S_{2}=\{(2,3),(4,5)\}.
Encontrar a matriz Q de mudança de base de S_{2} para S_{1}.
Primeiro entendimento prático (sem mistério): cada vetor de S_{2} já está dado nas coordenadas canônicas (porque S_{1} é a base canônica). Então formamos a matriz M cujas colunas são esses vetores, isto é, escrevemos os vetores de S_{2} como colunas em relação à base S_{1}:
Explicação curta: a primeira coluna é (2,3) e a segunda é (4,5), ambas em coordenadas canônicas.]
Passo 3
Agora a relação entre coordenadas. Seja v um vetor qualquer e seja [v]_{S_{1}} o vetor de coordenadas de v na base canônica (ou seja, as coordenadas padrão), e [v]_{S_{2}} as coordenadas de v na base S_{2}. Se chamarmos
[v]_{S_{1}} = x,\qquad [v]_{S_{2}} = y,
então a combinação linear que representa v traz
v = \text{(colunas de }M)\cdot y = M y.
Mas também v em coordenadas canônicas é x. Logo
x = M y.
Dessa igualdade segue
y = M^{-1} x.
Isto mostra a interpretação das matrizes de mudança de base:
A matriz que transforma coordenadas de S_{1} para S_{2} (ou seja, que envia x=[v]_{S_{1}} para y=[v]_{S_{2}}) é P = M^{-1}.
A matriz que transforma coordenadas de S_{2} para S_{1} é Q = M.
Passo 4
Vamos calcular M^{-1}. Primeiro o determinante de M:
\det(M)=2\cdot 5 - 4\cdot 3 = 10-12 = -2.
Passo 5
Fórmula inversa para uma matriz 2\times2: para
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
temos
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.