Exercício 38. Calcule o determinante de
\left(\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 1 & 1 & -2 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 & -5 \\\\ 1 & 4 & 4 & -6 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 1 & 1 & -2 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 & -5 \\\\ 1 & 4 & 4 & -6 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os elementos de A estão todos escritos acima; o objetivo é obter \det(A).

Passo 2

Vou usar operações elementares por linhas para simplificar a matriz antes de calcular o determinante. Antes de começar, algumas regras importantes (explicadas de forma direta para você aplicar na prova):
\text{Regra 1:} \text{ trocar duas linhas muda o sinal do determinante.}
\text{Regra 2:} \text{ multiplicar uma linha por }k\text{ multiplica o determinante por }k.
\text{Regra 3:} \text{ somar a uma linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante.}úÃ
A estratégia prática que vou usar: zerar as entradas abaixo de a_{11}=1 (primeira coluna) usando somas de linhas (Regra 3), o que não muda o determinante; depois expandir por essa coluna (ficará fácil porque haverá zeros).

Passo 3

Aplicando operações do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” (que não alteram o determinante):
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculemos cada linha nova:
R_2 - R_1 = (1-1,\;1-(-2),\;-2-3,\;0-(-1)) = (0,\;3,\;-5,\;1).
R_3 - 2R_1 = (2-2,\;0-2(-2),\;4-2\cdot3,\;-5-2(-1)) = (0,\;4,\;-2,\;-3).
R_4 - R_1 = (1-1,\;4-(-2),\;4-3,\;-6-(-1)) = (0,\;6,\;1,\;-5).
A matriz transformada (com o mesmo determinante) é
B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 3 & -5 & 1 \\\\ 0 & 4 & -2 & -3 \\\\ 0 & 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora note que na primeira coluna de B temos (1,0,0,0)^T. Quando uma coluna (ou linha) tem um único elemento não nulo, a expansão do determinante por essa coluna reduz o problema ao determinante do menor complementar. Em outras palavras,
\det(B) = 1 \cdot \det(M),
onde M é a submatriz 3\times3 obtida ao apagar a primeira linha e a primeira coluna de B. (O sinal é positivo porque o cofator correspondente a a_{11} é +1.)

Passo 5

Escrevendo a submatriz M:
M = \begin{pmatrix} 3 & -5 & 1 \\\\ 4 & -2 & -3 \\\\ 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Agora calculamos \det(M). Para 3\times3 podemos usar a expansão pela primeira linha (cofatores com sinais +,-,+) ou a regra de Sarrus. Vou expandir pela primeira linha para explicar passo a passo:
\det(M) = 3\cdot C_{11} - (-5)\cdot C_{12} + 1\cdot C_{13},
onde C_{1j} é o determinante do menor 2\times2 correspondente.

Passo 6

Calculando cada menor 2\times2:
Menor correspondente a 3:
C_{11} = \det\!\begin{pmatrix}-2 & -3 \\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix} = (-2)(-5) - (-3)(1) = 10 - (-3) = 13.
Menor correspondente a -5:
C_{12} = \det\!\begin{pmatrix}4 & -3 \\[4pt] 6 & -5\end{pmatrix} = 4(-5) - (-3)(6) = -20 - (-18) = -2.
(Observe o sinal da fórmula total: o termo na expansão é -a_{12}\cdot C_{12}, mas aqui a_{12}=-5, então o fator fica -(-5)=+5; vou usar isso ao somar.)
Menor correspondente a 1:
C_{13} = \det\!\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 6 & 1\end{pmatrix} = 4\cdot 1 - (-2)\cdot 6 = 4 - (-12) = 16.]

Passo 7

Substituindo em \det(M):
\det(M) = 3\cdot 13 - (-5)\cdot(-2) + 1\cdot 16.
Calcule os termos:
3\cdot 13 = 39,\qquad -(-5)\cdot(-2) = -( (+5)\cdot(-2) ) = -(-10)??
Vou reescrever com cuidado para não confundir sinais: a expressão correta é
\det(M) = 3\cdot 13 - (-5)\cdot(-2) + 16.
Aqui -(-5)\cdot(-2) = -\big((-5)\cdot(-2)\big) = -\big(10\big) = -10. \] Portanto \[\det(M) = 39 - 10 + 16 = 45.\]

Passo 8

Como \det(B)=1\cdot\det(M) e as operações feitas para obter B não alteraram o determinante, temos
\det(A)=\det(B)=\det(M)=45.
Fizemos passo a passo: usei operações que preservam determinante para criar zeros, depois expansão por coluna e cálculo explícito dos menores 2\times2. Se quiser, na prova você pode buscar tornar uma coluna (ou linha) com muitos zeros antes de expandir — isso economiza cálculo.

Resposta

\,45\,

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