Informações relevantes dadas: os elementos de A estão todos escritos acima; o objetivo é obter \det(A).
Passo 2
Vou usar operações elementares por linhas para simplificar a matriz antes de calcular o determinante. Antes de começar, algumas regras importantes (explicadas de forma direta para você aplicar na prova):
\text{Regra 1:} \text{ trocar duas linhas muda o sinal do determinante.}
\text{Regra 2:} \text{ multiplicar uma linha por }k\text{ multiplica o determinante por }k.
\text{Regra 3:} \text{ somar a uma linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante.}úÃ
A estratégia prática que vou usar: zerar as entradas abaixo de a_{11}=1 (primeira coluna) usando somas de linhas (Regra 3), o que não muda o determinante; depois expandir por essa coluna (ficará fácil porque haverá zeros).
Passo 3
Aplicando operações do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” (que não alteram o determinante):
Agora note que na primeira coluna de B temos (1,0,0,0)^T. Quando uma coluna (ou linha) tem um único elemento não nulo, a expansão do determinante por essa coluna reduz o problema ao determinante do menor complementar. Em outras palavras,
\det(B) = 1 \cdot \det(M),
onde M é a submatriz 3\times3 obtida ao apagar a primeira linha e a primeira coluna de B. (O sinal é positivo porque o cofator correspondente a a_{11} é +1.)
Agora calculamos \det(M). Para 3\times3 podemos usar a expansão pela primeira linha (cofatores com sinais +,-,+) ou a regra de Sarrus. Vou expandir pela primeira linha para explicar passo a passo:
(Observe o sinal da fórmula total: o termo na expansão é -a_{12}\cdot C_{12}, mas aqui a_{12}=-5, então o fator fica -(-5)=+5; vou usar isso ao somar.)
Como \det(B)=1\cdot\det(M) e as operações feitas para obter B não alteraram o determinante, temos
\det(A)=\det(B)=\det(M)=45.
Fizemos passo a passo: usei operações que preservam determinante para criar zeros, depois expansão por coluna e cálculo explícito dos menores 2\times2. Se quiser, na prova você pode buscar tornar uma coluna (ou linha) com muitos zeros antes de expandir — isso economiza cálculo.