Seja o conjunto V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right\} e para qualquer número real a e quaisquer vetores u=\left(x_{1}, y_{1}\right) e v=\left(x_{2}, y_{2}\right) em V, defina as operações \circledast e \Theta em V por u \circledast v=\left(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}, x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) e a \Theta u=\left(a x_{1}, a y_{1}\right).
a. Calcule u \circledast v e a \ominus u, \operatorname{com} u=(-1,2), v=(3,4) e a=3.
b. Calcule u \circledast u e a \ominus u, com u=(0,1), e a=2.
c. Explique por que V é fechado na adição e multiplicação por escalar.
d. Demonstre que (0,0) \neq \overrightarrow{0}.
e. Demonstre que (1,0)=\overrightarrow{0}.
f. Demonstre que existe um vetor v tal que (3,4) \circledast v=(1,0).
g. Demonstre que que existe u \in V que não tem simétrico (-u) em V.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\} e duas operações em V: para u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) e para qualquer escalar a\in\mathbb{R},
u\circledast v=(x_1x_2-y_1y_2,\;x_1y_2+x_2y_1)
e
a\Theta u=(a x_1,\;a y_1).
Observação: no enunciado, nas alíneas (a) e (b) aparece a notação a\ominus u, mas a operação de multiplicação por escalar explicitamente definida é a\Theta u. Vou interpretar que a\ominus u é a mesma coisa que a\Theta u.\n
As perguntas são:
a) Calcular u\circledast v e a\ominus u com u=(-1,2), v=(3,4), a=3.\n
b) Calcular u\circledast u e a\ominus u com u=(0,1), a=2.\n
c) Explicar por que V é fechado na “adição” (aqui a operação \circledast) e na multiplicação por escalar (aqui \Theta).\n
d) Mostrar que (0,0)\neq\overrightarrow{0} (onde \overrightarrow{0} é o elemento neutro em relação a \circledast).\n
e) Mostrar que (1,0)=\overrightarrow{0}.\n
f) Mostrar que existe v tal que (3,4)\circledast v=(1,0) e encontrar esse v.\n
g) Mostrar que existe u\in V que não tem simétrico (isto é, que não existe -u tal que u\circledast(-u)=\overrightarrow{0}).\n
A partir daqui eu resolvo passo a passo e ensino cada conceito necessário.

Passo 2

Entendendo as operações (mini-aula): \circledast combina coordenadas exatamente como a multiplicação de números complexos. Se pensarmos em (x,y) como o número complexo x+iy, então
(x_1,y_1)\circledast(x_2,y_2) \longleftrightarrow (x_1+iy_1)(x_2+iy_2).
Isto é útil porque podemos usar intuição de multiplicação de complexos (produto de componentes, conjugado, inverso etc.). A multiplicação por escalar \Theta é a multiplicação escalar usual coordenada a coordenada: multiplicamos cada coordenada por a. Vou usar essas ideias para calcular e para provar propriedades pedidas.

Passo 3

Resolvendo (a). Dados u=(-1,2), v=(3,4) e a=3.
Calcule u\circledast v. Aplicando a fórmula componente a componente:
\text{primeira componente }=x_1x_2-y_1y_2 = (-1)\cdot 3 - 2\cdot 4 = -3 - 8 = -11.
\text{segunda componente }=x_1y_2+x_2y_1 = (-1)\cdot 4 + 3\cdot 2 = -4 + 6 = 2.
Logo
u\circledast v = (-11,2).
Calcule a\Theta u (interpretando a\ominus u como a\Theta u). Multiplicação escalar coordenada a coordenada:
a\Theta u = (3\cdot(-1),\;3\cdot 2)=(-3,6).

Passo 4

Resolvendo (b). Dados u=(0,1) e a=2.
Calcule u\circledast u. Usando a fórmula:
\text{primeira componente }=x_1x_2-y_1y_2 = 0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
\text{segunda componente }=x_1y_2+x_2y_1 = 0\cdot 1 + 0\cdot 1 = 0.
Logo
u\circledast u = (-1,0).
Calcule a\Theta u:
a\Theta u = (2\cdot 0,\;2\cdot 1)=(0,2).

Passo 5

Resolvendo (c) — prova de fechamento (mini-aula sobre fechamento): fechar significa que, ao aplicar a operação entre elementos de V, o resultado continua sendo um elemento de V (aqui, um par de reais).
Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) quaisquer em V. Então
u\circledast v=(x_1x_2-y_1y_2,\;x_1y_2+x_2y_1).
Cada componente é combinação algebraica (produto e soma) de números reais, logo é um número real. Assim u\circledast v\in\mathbb{R}^2=V. Portanto V é fechado em \circledast.
Para escalar a\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1)\in V,
a\Theta u=(a x_1,\;a y_1),
cada componente é real, logo a\Theta u\in V. Assim V é fechado sob multiplicação por escalar \Theta.

Passo 6

Resolvendo (d) e (e) — encontrar o elemento neutro \overrightarrow{0} em relação a \circledast e comparar com (0,0).
Procuramos \overrightarrow{0}=(e_1,e_2) tal que, para todo u=(x,y)\in V,
u\circledast \overrightarrow{0}=(x,y).
Ou seja,
(x e_1 - y e_2,\; x e_2 + y e_1) = (x,y)\quad\text{para todos }x,y.
Isto gera as igualdades (devem valer para quaisquer x,y):
x e_1 - y e_2 = x,
x e_2 + y e_1 = y.
Escolhendo x=1,y=0 na primeira equação obtemos e_1=1. Escolhendo x=0,y=1 na primeira obtemos -e_2=0 então e_2=0. Assim
\overrightarrow{0}=(1,0).
Portanto (0,0)\neq\overrightarrow{0}, o que prova (d), e também mostramos diretamente que (1,0)=\overrightarrow{0}, o que prova (e). Podemos verificar: para u=(x,y),
u\circledast(1,0)=(x\cdot 1 - y\cdot 0,\; x\cdot 0 + y\cdot 1)=(x,y),
ou seja, (1,0) é realmente o elemento neutro.

Passo 7

Resolvendo (f) — encontrar v tal que (3,4)\circledast v=(1,0).
Seja v=(p,q). Escrevemos as equações de \circledast:
(3p - 4q,\;3q + 4p) = (1,0).
Isto é o sistema
3p - 4q = 1,
4p + 3q = 0.
Resolvendo: da segunda equação 3q = -4p então q=-\dfrac{4p}{3}. Substituindo na primeira:
3p - 4\left(-\frac{4p}{3}\right) = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3p + \frac{16p}{3} = 1.
Multiplicando por 3:
9p + 16p = 3 \quad\Longrightarrow\quad 25p = 3 \quad\Longrightarrow\quad p=\frac{3}{25}.
Então
q = -\frac{4p}{3} = -\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{25} = -\frac{4}{25}.
Logo
v=\left(\frac{3}{25}, -\frac{4}{25}\right).
Observação: isso coincide com o inverso multiplicativo do número complexo 3+4i, cujo inverso é \dfrac{3}{25}-\dfrac{4}{25}i.

Passo 8

Resolvendo (g) — existe u\in V que não tem simétrico.
Aqui “simétrico” significa o elemento w tal que u\circledast w=\overrightarrow{0}=(1,0). Para u=(x,y) e w=(p,q) o sistema é
(xp - yq,\; xq + yp) = (1,0),
ou em forma matricial
\begin{pmatrix} x & -y \\\ y & x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p \\\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \end{pmatrix}.
Esse sistema tem solução se, e somente se, o determinante x^2+y^2\neq 0. Se x=y=0 (isto é, u=(0,0)) então a matriz é a matriz zero, e a equação fica (0,0)=(1,0), impossível. Assim u=(0,0) não possui simétrico em V. Portanto existe (pelo menos) um u\in V sem simétrico; por exemplo u=(0,0).

Resposta

a) u\circledast v = (-11,2). \;a\Theta u = (-3,6).\n
b) u\circledast u = (-1,0). \;a\Theta u = (0,2).\n
c) Sim. V é fechado em \circledast porque as duas coordenadas de u\circledast v são combinações de números reais (logo reais), e é fechado em \Theta porque a\Theta u tem coordenadas reais.\n
d) (0,0)\neq\overrightarrow{0}.\n
e) (1,0)=\overrightarrow{0}.\n
f) v=\left(\dfrac{3}{25},-\dfrac{4}{25}\right).\n
g) Existe: por exemplo u=(0,0) não tem simétrico em V.

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