Ou seja: quero uma matriz P cujas colunas sejam vetores ortonormais, e uma matriz diagonal D contendo os autovalores de A, com a igualdade acima satisfeita.]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): matrizes simétricas reais — como A — têm uma propriedade ótima: existem autovetores ortonormais que diagonalizam a matriz. Isso significa que podemos achar autovalores \lambda e autovetores v de A, escolher os autovetores normalizados (norma 1) e montar P com eles como colunas; então P é ortogonal (ou seja P^{-1}=P^{T}) e D=P^{T}AP é diagonal com os autovalores na diagonal. Vou usar exatamente esse método porque é o mais direto e exige só resolver o polinômio característico e normalizar vetores — ideal para prova.
Passo 3
Encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Calculo passo a passo:
Como as colunas são unitárias e ortogonais, elas formam um conjunto ortonormal; então a matriz P formada por essas colunas é ortogonal e satisfaz P^{-1}=P^{T}.
Passo 7
Construir P e D. Coloco u_{1} como primeira coluna (correspondendo a \lambda_{1}=7) e u_{2} como segunda coluna (correspondendo a \lambda_{2}=-3). Assim
logo u_{1} é realmente autovetor com autovalor 7. Processo análogo confirma u_{2} com autovalor -3. Assim P^{T}AP=D, e como P é ortogonal isso implica D=P^{-1}AP.]