Exercício 53. Para a matriz simétrica A, encontre uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que D=P^{-1} A P onde
A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 4 \\\\ 4 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que
D = P^{-1} A P
onde a matriz dada é
A=\begin{pmatrix}5 & 4 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix}.
Ou seja: quero uma matriz P cujas colunas sejam vetores ortonormais, e uma matriz diagonal D contendo os autovalores de A, com a igualdade acima satisfeita.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): matrizes simétricas reais — como A — têm uma propriedade ótima: existem autovetores ortonormais que diagonalizam a matriz. Isso significa que podemos achar autovalores \lambda e autovetores v de A, escolher os autovetores normalizados (norma 1) e montar P com eles como colunas; então P é ortogonal (ou seja P^{-1}=P^{T}) e D=P^{T}AP é diagonal com os autovalores na diagonal. Vou usar exatamente esse método porque é o mais direto e exige só resolver o polinômio característico e normalizar vetores — ideal para prova.

Passo 3

Encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Calculo passo a passo:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 4 \\[4pt] 4 & -1-\lambda\end{pmatrix}
Logo
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(-1-\lambda)-4\cdot 4.
Faço as contas:
(5-\lambda)(-1-\lambda)=\lambda^{2}-4\lambda-5
e
\lambda^{2}-4\lambda-5-16=\lambda^{2}-4\lambda-21.
Portanto o polinômio é
\lambda^{2}-4\lambda-21=0.
Esse polinômio fatoriza facilmente:
\lambda^{2}-4\lambda-21=(\lambda-7)(\lambda+3),
logo os autovalores são
\lambda_{1}=7,\qquad \lambda_{2}=-3.]

Passo 4

Encontrar um autovetor associado a \lambda_{1}=7.
Resolvo (A-7I)v=0. Temos
A-7I=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] 4 & -8\end{pmatrix}.
A primeira linha dá a equação -2x+4y=0, ou y=\dfrac{x}{2}. Posso escolher x=2 para evitar frações; então um autovetor é
v_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Agora normalizo: a norma de v_{1} é
\|v_{1}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.
O autovetor unitário (coluna de P) é
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.
Explicação rápida: normalizar significa dividir por \|v\| para obter vetor de norma 1; assim as colunas de P serão ortonormais.]

Passo 5

Encontrar um autovetor associado a \lambda_{2}=-3.
Resolvo (A+3I)v=0. Temos
A+3I=\begin{pmatrix}8 & 4 \\[4pt] 4 & 2\end{pmatrix}.
A primeira linha dá 8x+4y=0 ou 2x+y=0, isto é y=-2x. Posso escolher x=1, então um autovetor é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Norma de v_{2}:
\|v_{2}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}.
Autovetor unitário:
u_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[6pt]-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificar ortogonalidade das colunas (importante para P ser ortogonal):
Calculo o produto interno u_{1}\cdot u_{2}:
u_{1}\cdot u_{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\frac{2-2}{5}=0.
Como as colunas são unitárias e ortogonais, elas formam um conjunto ortonormal; então a matriz P formada por essas colunas é ortogonal e satisfaz P^{-1}=P^{T}.

Passo 7

Construir P e D. Coloco u_{1} como primeira coluna (correspondendo a \lambda_{1}=7) e u_{2} como segunda coluna (correspondendo a \lambda_{2}=-3). Assim
P=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}} & \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{5}} & -\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.
A matriz diagonal D tem os autovalores na mesma ordem das colunas de P, ou seja
D=\begin{pmatrix}7 & 0 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Confirmação rápida (como checar na prova sem calcular toda multiplicação): usar que A u_{1}=7 u_{1} e A u_{2}=-3 u_{2}. Por exemplo,
A\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}5\cdot 2 + 4\cdot 1 \\[4pt] 4\cdot 2 + (-1)\cdot 1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}14\\[4pt]7\end{pmatrix} =7\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix},
logo u_{1} é realmente autovetor com autovalor 7. Processo análogo confirma u_{2} com autovalor -3. Assim P^{T}AP=D, e como P é ortogonal isso implica D=P^{-1}AP.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}} & \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{5}} & -\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}
D=\begin{pmatrix}7 & 0 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}]

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