integral0^2 pi integralpi / 6^pi / 2 integral0^3 rho^2 sen phi d rho d phi d theta

Passo 1

Temos o enunciado: calcular a integral tripla em coordenadas esféricas
integral0^2 pi integralpi / 6^pi / 2 integral0^3 rho^2 sin phi ,drho,dphi,dtheta
O conteúdo envolve o uso do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Primeiro, integramos em rho, mantendo phi e theta fixos. Temos
integral0^3 rho^2 ,drho = [rho^33]0^3 = 273 = 9

Passo 3

Em seguida, integramos em phi, usando o resultado da integral em rho. Calculamos
integralpi/6^pi/2 sinphi ,dphi = l[-cosphir]pi/6^pi/2 = -cosl(tfracpi2r) + cosl(tfracpi6r) = 0 + raiz32 = raiz32

Passo 4

Por fim, integramos em theta. Como não há dependência em theta, basta multiplicar pelo comprimento do intervalo:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 5

Agora juntamos tudo:
9 times raiz32 times 2pi = 9raiz3pi

Resposta

9piraiz3

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