Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo utilizando série de potências.
y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' + y = 0 por séries de potências, o que envolve assumir uma expansão em potência de x e encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = sumn=0^infty an x^n. Então calcular a segunda derivada:
y'' = sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 = sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2 x^n
e escrever y como
y = sumn=0^infty an x^n

Passo 3

Substituindo em y'' + y = 0 obtemos
sumn=0^infty l[(n+2)(n+1)an+2 + anr]x^n = 0
Como essa soma vale zero para todo x, cada coeficiente deve anular-se, gerando a recorrência
(n+2)(n+1)an+2 + an = 0 Longrightarrow an+2 = -an(n+2)(n+1)

Passo 4

Separando os índices pares e ímpares temos:
para n=2m:
a2(m+1) = -a2m(2m+2)(2m+1)Rightarrow a2m = (-1)^ma0(2m)!,

Passo 5

para n=2m+1:
a2(m+1)+1 = -a2m+1(2m+3)(2m+2)Rightarrow a2m+1 = (-1)^ma1(2m+1)!

Passo 6

Logo a série se separa em parte par e ímpar:
y = a0 summ=0^infty (-1)^mx^2m(2m)! + a1 summ=0^infty (-1)^mx^2m+1(2m+1)!

Passo 7

Reconhecemos as séries de cos x e sin x. Assim a solução geral fica
y = C1cos x + C2sin x,
onde C1 = a0 e C2 = a1.

Resposta

y = C_1\cos x + C_2\sin x

Exercícios relacionados