Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo utilizando série de potências.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
por séries de potências, o que envolve assumir uma expansão em potência de
e encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Então calcular a segunda derivada:
e escrever
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Como essa soma vale zero para todo
Passo 4
Separando os índices pares e ímpares temos:
para :
para
Passo 5
para
:
Passo 6
Logo a série se separa em parte par e ímpar:
Passo 7
Reconhecemos as séries de
e
. Assim a solução geral fica
onde
Resposta
y = C_1\cos x + C_2\sin x