Exercício 13.3. Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
A equação é
A equação é
Então vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Para aplicar o método, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação original, todas as derivadas trazem fatores de
de forma que obtemos
Como
, a equação característica fica
Passo 3
Precisamos agora resolver
Fatorando, temos
Logo uma raiz é
. Para
, escreve-se
, cujas raízes são
e as duas complexas dadas por
[r^2-r+1=0,\Rightarrow,r=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}
Passo 4
Como as raízes são
,
e
, a solução geral real é a combinação linear das soluções correspondentes. Para a parte complexa usamos as formas de Euler. Assim
Passo 5
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}e{-x}+e{x/2}\bigl(C_{3}\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}x)+C_{4}\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\bigr)