Exercício 13.3. Encontre a solução geral das equações:
y^(4)+y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
A equação é
y^(4)+y'=0
Então vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Para aplicar o método, assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na equação original, todas as derivadas trazem fatores de r de forma que obtemos
r^4e^rx+r e^rx=0
Como e^rxneq0, a equação característica fica
r^4 + r = 0

Passo 3

Precisamos agora resolver
r^4+r=0
Fatorando, temos
r(r^3+1)=0
Logo uma raiz é r=0. Para r^3+1=0, escreve-se r^3=-1, cujas raízes são
r=-1 e as duas complexas dadas por
[r^2-r+1=0,\Rightarrow,r=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}

Passo 4

Como as raízes são r1=0, r2=-1 e r3,4=tfrac12pm itfracraiz32, a solução geral real é a combinação linear das soluções correspondentes. Para a parte complexa usamos as formas de Euler. Assim

Passo 5

y(x)=C1e^0cdot x+C2e^-x+e^x/2l(C3cosl(tfracraiz32xr)+C4sinl(tfracraiz32xr)r)

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e{-x}+e{x/2}\bigl(C_{3}\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}x)+C_{4}\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\bigr)

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