Sabendo que a função
f(x)=cc x^2-2 x+ax-3, & se x<3 b, & se x >= 3
é contínua, então a+b é igual a
(A) 1.
(B) 2.
© -2 .
(D) -1 .
(E) outro valor.

Passo 1

Resumo da Questão: Temos uma função definida por partes:
f(x)= x^2-2x+ax-3, & se x < 3 b, & se x >= 3
Sabemos que essa função é contínua em todo o seu domínio. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ a + b $.
Conteúdo Necessário: Para resolver essa questão, vamos utilizar o conceito de continuidade de funções, especificamente garantindo que não haja “saltos” na função no ponto onde ela é definida por partes diferentes. Precisamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 3 pelo lado esquerdo e igualar esse limite ao valor de $ f(3) = b $.

Passo 2

Entendendo a Continuidade: A função $ f(x) $ é contínua se o limite quando $ x $ se aproxima de 3 for igual ao valor da função em 3. Ou seja:
f(x)

Passo 3

Calculando o Limite pelo Lado Esquerdo: Vamos calcular o limite de $ f(x) $ conforme $ x $ se aproxima de 3 pelo lado esquerdo ($ x < 3 $):
f(x)
Observamos que, se substituirmos $ x = 3 $, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, resultando em uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Para resolver isso, precisamos garantir que o numerador seja fatorável e contenha o fator $ (x - 3) $, que poderá ser cancelado com o denominador.

Passo 4

Fatorando o Numerador: Vamos expressar o numerador $ x^{2} - 2x + a $ como $ (x - 3)(x + c) $, onde $ c $ é uma constante a ser determinada.
Multiplicando os fatores:
x^2 - 2x + a
Comparando com o numerador original $ x^{2} - 2x + a $, igualamos os coeficientes:
(x - 3)(x + c)
Resolvendo a primeira equação:
c
Substituindo $ c = 1 $ na segunda equação:
(x - 3)(x + c) = x^2 + (c - 3)x - 3c

Passo 5

Simplificando a Expressão: Agora que encontramos $ a = -3 $, podemos simplificar a expressão original:
a = -3
Cancelando o fator $ (x - 3) $:
x^2 - 2x - 3x - 3 = (x - 3)(x + 1)x - 3

Passo 6

Calculando o Limite: Com a expressão simplificada, o limite fica:
limx to 3^- (x + 1) = 3 + 1 = 4
Portanto, para que a função seja contínua, devemos ter:
b = 4

Resposta

O valor de $ a + b $ é 1.

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