Sabendo que a função
é contínua, então
é igual a
(A) 1.
(B) 2.
© -2 .
(D) -1 .
(E) outro valor.
(A) 1.
(B) 2.
© -2 .
(D) -1 .
(E) outro valor.
Passo 1
Resumo da Questão: Temos uma função definida por partes:
Sabemos que essa função é contínua em todo o seu domínio. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ a + b $.
Conteúdo Necessário: Para resolver essa questão, vamos utilizar o conceito de continuidade de funções, especificamente garantindo que não haja “saltos” na função no ponto onde ela é definida por partes diferentes. Precisamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 3 pelo lado esquerdo e igualar esse limite ao valor de $ f(3) = b $.
Passo 2
Entendendo a Continuidade: A função $ f(x) $ é contínua se o limite quando $ x $ se aproxima de 3 for igual ao valor da função em 3. Ou seja:
Passo 3
Calculando o Limite pelo Lado Esquerdo: Vamos calcular o limite de $ f(x) $ conforme $ x $ se aproxima de 3 pelo lado esquerdo ($ x < 3 $):
Observamos que, se substituirmos $ x = 3 $, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, resultando em uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Para resolver isso, precisamos garantir que o numerador seja fatorável e contenha o fator $ (x - 3) $, que poderá ser cancelado com o denominador.
Passo 4
Fatorando o Numerador: Vamos expressar o numerador $ x^{2} - 2x + a $ como $ (x - 3)(x + c) $, onde $ c $ é uma constante a ser determinada.
Multiplicando os fatores:
Comparando com o numerador original $ x^{2} - 2x + a $, igualamos os coeficientes:
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo $ c = 1 $ na segunda equação:
Passo 5
Simplificando a Expressão: Agora que encontramos $ a = -3 $, podemos simplificar a expressão original:
Cancelando o fator $ (x - 3) $:
Passo 6
Calculando o Limite: Com a expressão simplificada, o limite fica:
Portanto, para que a função seja contínua, devemos ter:
Resposta
O valor de $ a + b $ é 1.