Qual das funções abaixo satisfaz a equação
?
(A)
.
(B)
.
©
.
(D)
.
(E) Nenhuma das anteriores.
(A)
(B)
©
(D)
(E) Nenhuma das anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual das funções dadas satisfaz a equação diferencial $ y’’ = -4 y’ $. Isso envolve entender derivadas de funções e como elas se relacionam na equação. Vamos precisar calcular as derivadas de cada função e verificar qual delas cumpre a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ y’ $ é a primeira derivada de $ y $ em relação a $ x $, e $ y’’ $ é a segunda derivada. A equação $ y’’ = -4 y’ $ diz que a segunda derivada é igual a -4 vezes a primeira derivada. Vamos verificar cada opção:
Passo 3
Opção A: $ y = -2x^2 $
Calculando $ y’ $:
Calculando $ y’’ $:
Agora, substituindo na equação:
Isso só é verdadeiro se $ x = -\frac{1}{4} $, mas não para todo $ x $. Então, não satisfaz a equação.
Passo 4
Opção B: $ y = \sin(2x) $
Calculando $ y’ $:
Calculando $ y’’ $:
Agora, substituindo na equação:
Isso não é válido para todos $ x $. Então, também não satisfaz a equação.
Passo 5
Opção C: $ y = 4\cos(x) $
Calculando $ y’ $:
Calculando $ y’’ $:
Agora, substituindo na equação:
Isso não é verdadeiro para todo $ x $. Então, não satisfaz a equação.
Passo 6
Opção D: $ y = -e^{2x} $
Calculando $ y’ $:
Calculando $ y’’ $:
Agora, substituindo na equação:
Isso também não é verdade para todo $ x $. Então, não satisfaz a equação.
Passo 7
Como nenhuma das opções A, B, C ou D satisfaz a equação diferencial $ y’’ = -4 y’ $, a resposta correta é a opção E.
Resposta
E) Nenhuma das anteriores.