Qual das funções abaixo satisfaz a equação y^prime prime=-4 y^prime ?
(A) y=-2 x^2.
(B) y=sen(2 x).
© y=4 cos (x).
(D) y=-e^2 x.
(E) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual das funções dadas satisfaz a equação diferencial $ y’’ = -4 y’ $. Isso envolve entender derivadas de funções e como elas se relacionam na equação. Vamos precisar calcular as derivadas de cada função e verificar qual delas cumpre a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ y’ $ é a primeira derivada de $ y $ em relação a $ x $, e $ y’’ $ é a segunda derivada. A equação $ y’’ = -4 y’ $ diz que a segunda derivada é igual a -4 vezes a primeira derivada. Vamos verificar cada opção:

Passo 3

Opção A: $ y = -2x^2 $
Calculando $ y’ $:
y = -2x^2
Calculando $ y’’ $:
y'
Agora, substituindo na equação:
y' = -4x
y''
Isso só é verdadeiro se $ x = -\frac{1}{4} $, mas não para todo $ x $. Então, não satisfaz a equação.

Passo 4

Opção B: $ y = \sin(2x) $
Calculando $ y’ $:
y = sin(2x)
Calculando $ y’’ $:
y'
Agora, substituindo na equação:
y' = 2cos(2x)
y''
Isso não é válido para todos $ x $. Então, também não satisfaz a equação.

Passo 5

Opção C: $ y = 4\cos(x) $
Calculando $ y’ $:
y = 4cos(x)
Calculando $ y’’ $:
y'
Agora, substituindo na equação:
y' = -4sin(x)
y''
Isso não é verdadeiro para todo $ x $. Então, não satisfaz a equação.

Passo 6

Opção D: $ y = -e^{2x} $
Calculando $ y’ $:
y = -e^2x
Calculando $ y’’ $:
y'
Agora, substituindo na equação:
y' = -2e^2x
y''
Isso também não é verdade para todo $ x $. Então, não satisfaz a equação.

Passo 7

Como nenhuma das opções A, B, C ou D satisfaz a equação diferencial $ y’’ = -4 y’ $, a resposta correta é a opção E.

Resposta

E) Nenhuma das anteriores.

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