Exercício 13.4. Resolva usando coeficientes a determinar:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve encontrar a solução geral da equação, que é a soma da solução homogênea (quando o lado direito é zero) e de uma solução particular que se ajusta ao lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, montamos a equação característica substituindo por e por :
Fatorando :
As raízes são (com multiplicidade 2) e .
Passo 4
Com as raízes encontradas, escrevemos a solução homogênea:
Aqui, e são constantes de integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação completa . Observamos que o lado direito da equação é a soma de um polinômio e uma função exponencial . Vamos encontrar soluções particulares para cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, consideramos a parte polinomial . Assumimos uma solução particular do tipo:
onde , e são coeficientes a serem determinados.
Passo 7
Em seguida, consideramos a parte exponencial . Assumimos uma solução particular do tipo:
onde e são coeficientes a serem determinados.
Passo 8
Agora, calculamos as derivadas necessárias para substituir na equação original.
Para :
Para :
Passo 9
Substituímos na equação original:
Para :
Para :
Portanto, a equação fica:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes em ambos os lados da equação:
Para os termos polinomiais e constantes:
Isso não faz sentido direto, pois é constante. Isso indica que nossa suposição para está incompleta. Precisamos ajustar a forma da solução particular para a parte polinomial.
Passo 11
Vamos assumir uma solução particular polinomial de grau igual ao lado direito. Como temos , nossa nova suposição é:
Substituindo na equação homogênea:
Igualando aos termos do lado direito:
Para que isso seja válido para todo , devemos ter:
Como a primeira equação B = 0 e C = x^22 é impossível, isso sugere que nossa suposição está incorreta. Isso acontece porque o método dos coeficientes a determinar não captura completamente o termo polinomial. Para resolver isso, precisamos ajustar nossa suposição adicionando um termo multiplicado por .
Vamos tentar:
E perceber que, na verdade, nosso erro está na aplicação do método. Para termos polinomiais do lado direito, a solução particular assume a forma do polinômio, e as derivadas reduzem o grau, resultando em constantes que podemos igualar.
Portanto, continuamos com:
E os termos e não aparecem na equação resultante, o que significa que seus coeficientes e são:
Mas isso também não faz sentido, indicando que precisamos revisitar nossa abordagem.
Passo 12
Na verdade, para resolver corretamente, devemos considerar que, após as derivadas, os termos de 2A = 1 Rightarrow A = 12 são eliminados, então nossa suposição inicial está correta. Portanto, resolvemos para yp1(x) = 12x^2 :
Os coeficientes e não são determinados por essa equação, o que significa que podemos atribuir valores a eles para simplificar a solução. Vamos assumir e para encontrar uma solução particular específica.
Então, temos:
Passo 13
Agora, vamos tratar a parte exponencial yp2''' + yp2'' = (2Dx + 5D + 2E) e^x . Substituímos 2Dx + 5D + 2E = 3x na equação original:
2D = 3 5D + 2E = 0
Igualando aos termos do lado direito:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 14
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
2D = 3 Rightarrow D = 32
Substituindo 5(32) + 2E = 0 Rightarrow 152 + 2E = 0 Rightarrow 2E = -152 Rightarrow E = -154 na segunda equação:
Passo 15
Agora, temos os valores dos coeficientes:
D = 32 e E = -154
Portanto, a solução particular para a parte exponencial é:
yp2(x) = ( 32x - 154 ) e^x
Passo 16
Finalmente, somamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral da equação diferencial: