Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1<x{2}+y{2} \leq 4\right}
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1<x{2}+y{2} \leq 4\right}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região do plano
Informações dadas (resumindo o que está no enunciado):
- A condição envolve
. - Há uma desigualdade dupla:
. - Precisa-se produzir um esboço (desenho) da região no plano cartesiano.
Passo 2
Interpretação geométrica básica: para um ponto
definimos o raio polar
que é a distância do ponto à origem
. Assim a expressão
é igual a
. Substituindo na desigualdade obtemos
Passo 3
Simplificando a desigualdade usando
: tomar raiz quadrada nas duas partes é válido porque
é não negativo; isso dá
Portanto a região consiste de todos os pontos cuja distância à origem é maior que
e menor ou igual a
.
Passo 4
Interpretação em termos de círculos:
- O círculo de raio
centrado na origem é o conjunto . Pela desigualdade temos , ou seja, os pontos exatamente sobre esse círculo ( ) são excluídos. - O círculo de raio
centrado na origem é . Pela desigualdade temos , ou seja, os pontos sobre esse círculo ( ) estão incluídos.
Resumo: é um anel (anel circular) entre os círculos de raios
e
; a fronteira interna (
) é excluída e a fronteira externa (
) é incluída.
Passo 5
Representações paramétricas das fronteiras (úteis para desenhar):
- Círculo interno (excluído):
, , correspondente a . - Círculo externo (incluído):
, , correspondente a .
Passo 6
Como esboçar passo a passo (instruções práticas para fazer à mão na prova):
- Desenhe os eixos coordenados
e e marque a origem . - Trace um círculo de raio
centrado na origem. Como esse círculo corresponde a e a desigualdade é estrita ( ), desenhe-o com traço pontilhado (ou tracejado) para indicar que ele não faz parte da região. - Trace um círculo de raio
centrado na origem. Como esse círculo está incluído ( ), desenhe-o com linha contínua (sólida). - Sombreie (ou faça hachura) a “faixa” entre os dois círculos, incluindo a linha externa e excluindo a linha interna. A região sombreada é o conjunto pedido.
Passo 7
Alguns pontos de verificação (para garantir que o desenho está correto):
- O ponto
tem , não satisfaz , logo não pertence (centro excluído). - O ponto
tem , não pertence (fronteira interna excluída). - O ponto
tem , pertence (fronteira externa incluída). - O ponto
tem , que satisfaz , logo pertence (fica na faixa entre os círculos). - A região é conectada em forma de anel; não há pontos dentro do círculo de raio
nem fora do círculo de raio .
Passo 8
Observações finais e linguagem que pode aparecer na prova:
- Pode-se chamar a região de “anel circular (ou coroa) com raios internos
e externos , com a fronteira interna excluída e a externa incluída”. - Em notação alternativa usando
: .
Resposta
A região é o anel (corona circular) centrado na origem com raios
e
, isto é,
. A fronteira interna
é excluída e a fronteira externa
é incluída.