Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1<x{2}+y{2} \leq 4\right}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do plano
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 1 < x^{2}+y^{2} \leq 4\}.
Informações dadas (resumindo o que está no enunciado):
  • A condição envolve x^{2}+y^{2}.
  • Há uma desigualdade dupla: 1 < x^{2}+y^{2} \leq 4.
  • Precisa-se produzir um esboço (desenho) da região no plano cartesiano.

Passo 2

Interpretação geométrica básica: para um ponto (x,y) definimos o raio polar
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que é a distância do ponto à origem (0,0). Assim a expressão x^{2}+y^{2} é igual a r^{2}. Substituindo na desigualdade obtemos
1 < r^{2} \leq 4.

Passo 3

Simplificando a desigualdade usando r\ge 0: tomar raiz quadrada nas duas partes é válido porque r é não negativo; isso dá
1 < r \leq 2.
Portanto a região consiste de todos os pontos cuja distância à origem é maior que 1 e menor ou igual a 2.

Passo 4

Interpretação em termos de círculos:
  • O círculo de raio 1 centrado na origem é o conjunto \{(x,y): x^{2}+y^{2}=1\}. Pela desigualdade temos r>1, ou seja, os pontos exatamente sobre esse círculo ( r=1) são excluídos.
  • O círculo de raio 2 centrado na origem é \{(x,y): x^{2}+y^{2}=4\}. Pela desigualdade temos r\le 2, ou seja, os pontos sobre esse círculo ( r=2) estão incluídos.
Resumo: é um anel (anel circular) entre os círculos de raios 1 e 2; a fronteira interna ( r=1) é excluída e a fronteira externa ( r=2) é incluída.

Passo 5

Representações paramétricas das fronteiras (úteis para desenhar):
  • Círculo interno (excluído): \bigl(x,y\bigr)=(\cos\theta,\sin\theta), \theta\in[0,2\pi), correspondente a r=1.
  • Círculo externo (incluído): \bigl(x,y\bigr)=(2\cos\theta,2\sin\theta), \theta\in[0,2\pi), correspondente a r=2.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para fazer à mão na prova):
  1. Desenhe os eixos coordenados x e y e marque a origem (0,0).
  2. Trace um círculo de raio 1 centrado na origem. Como esse círculo corresponde a r=1 e a desigualdade é estrita ( >), desenhe-o com traço pontilhado (ou tracejado) para indicar que ele não faz parte da região.
  3. Trace um círculo de raio 2 centrado na origem. Como esse círculo está incluído ( \le), desenhe-o com linha contínua (sólida).
  4. Sombreie (ou faça hachura) a “faixa” entre os dois círculos, incluindo a linha externa e excluindo a linha interna. A região sombreada é o conjunto pedido.

Passo 7

Alguns pontos de verificação (para garantir que o desenho está correto):
  • O ponto (0,0) tem r=0, não satisfaz 1<r, logo não pertence (centro excluído).
  • O ponto (0,1) tem r=1, não pertence (fronteira interna excluída).
  • O ponto (0,2) tem r=2, pertence (fronteira externa incluída).
  • O ponto (\tfrac{3}{2},0) tem r=1{,}5, que satisfaz 1<1{,}5\le2, logo pertence (fica na faixa entre os círculos).
  • A região é conectada em forma de anel; não há pontos dentro do círculo de raio 1 nem fora do círculo de raio 2.

Passo 8

Observações finais e linguagem que pode aparecer na prova:
  • Pode-se chamar a região de “anel circular (ou coroa) com raios internos 1 e externos 2, com a fronteira interna excluída e a externa incluída”.
  • Em notação alternativa usando r: \{(r,\theta): 1<r\le2,\\ \theta\in[0,2\pi)\}.

Resposta

A região é o anel (corona circular) centrado na origem com raios 1 e 2, isto é, \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 1<\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le2\}. A fronteira interna x^{2}+y^{2}=1 é excluída e a fronteira externa x^{2}+y^{2}=4 é incluída.

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