Exercício 13. Estude o sinal das funções racionais a seguir.
f(x)=x-2x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal de f(x)=x-2x^2+3. Para isso, vamos determinar onde f(x) é positiva, negativa ou zero, analisando separadamente o numerador e o denominador.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como
x^2+3>0
para todo xinR, não há valor que zere o denominador. Logo, o domínio de f é R.

Passo 3

Encontrar as raízes do numerador. A equação
x-2=0
tem como única solução x=2. Portanto f(x)=0 exatamente em x=2.

Passo 4

Analisar o sinal do denominador. Como já vimos, x^2+3>0 para todo x, o denominador é sempre positivo e não altera o sinal de f(x).

Passo 5

Combinar sinais. Já que o denominador é sempre positivo, o sinal de f(x) é o mesmo do numerador x-2. Assim:
  • Para x<2, x-2<0 Rightarrow f(x)<0.
  • Em x=2, f(2)=0.
  • Para x>2, x-2>0 Rightarrow f(x)>0.

Resposta

f(x)<0 para x<2, f(2)=0 e f(x)>0 para x>2.

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