Problema 71 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias:
y=1x^2

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função racional fracionária
y = 1x^2
O conteúdo envolve estudo de domínio, interceptos, simetrias, assíntotas, comportamento assintótico e forma geral do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio e possíveis interceptos.
O domínio é
xinRmid xneq0,
pois não podemos dividir por zero. Não há intercepto com o eixo x (pois y>0 para todo xneq0) nem intercepto com o eixo y (não existe valor de x que anule o denominador para y=0).

Passo 3

Identificar assíntotas.
Quando xto0^pm, o valor de 1x^2to+infty, logo há assíntota vertical
x=0
Quando xtopminfty, 1x^2to0^+, logo há assíntota horizontal
y=0

Passo 4

Analisar simetria e comportamento global.
Como
f(-x)=1(-x)^2=1x^2=f(x),
a função é par, isto é, simétrica em relação ao eixo y. No ramo x>0, y decresce de +infty (próximo a x=0) até 0 (quando xto+infty). No ramo x<0 o comportamento é análogo.

Passo 5

Estudar monotonicidade e concavidade pela derivada.
f'(x) = -2x^3, f''(x)=6x^4
Para x>0, f'(x)<0 (decrescente) e f''(x)>0 (côncava para cima). Para x<0, f'(x)>0 (crescente) e f''(x)>0 (também côncava para cima).

Passo 6

Escolher alguns pontos para esboçar o gráfico.
f(1)=1, f(2)=tfrac14, f(-1)=1, f(-2)=tfrac14
Com assíntotas x=0 e y=0, simetria par e esses pontos, traçamos dois ramos nos quadrantes I e II que partem de +infty em x=0 e aproximam-se de zero quando |x|toinfty.

Resposta

O gráfico de y=1/x^2 consiste em dois ramos simétricos em relação ao eixo y:
  • No intervalo (0,infty), a curva parte de +infty em x=0^+, passa por (1,1) e (2,tfrac14) e se aproxima de y=0 quando xto+infty.
  • No intervalo (-infty,0), há o ramo simétrico que parte de +infty em x=0^-, passa por (-1,1) e (-2,tfrac14) e se aproxima de y=0 quando xto-infty.
    As assíntotas são x=0 (vertical) e y=0 (horizontal).

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