Problema 71 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função racional fracionária
O conteúdo envolve estudo de domínio, interceptos, simetrias, assíntotas, comportamento assintótico e forma geral do gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio e possíveis interceptos.
O domínio é
O domínio é
pois não podemos dividir por zero. Não há intercepto com o eixo
(pois
para todo
) nem intercepto com o eixo
(não existe valor de
que anule o denominador para
).
Passo 3
Identificar assíntotas.
Quando , o valor de
, logo há assíntota vertical
Quando
Quando
,
, logo há assíntota horizontal
Passo 4
Analisar simetria e comportamento global.
Como
Como
a função é par, isto é, simétrica em relação ao eixo
. No ramo
,
decresce de
(próximo a
) até
(quando
). No ramo
o comportamento é análogo.
Passo 5
Estudar monotonicidade e concavidade pela derivada.
Para
,
(decrescente) e
(côncava para cima). Para
,
(crescente) e
(também côncava para cima).
Passo 6
Escolher alguns pontos para esboçar o gráfico.
Com assíntotas
e
, simetria par e esses pontos, traçamos dois ramos nos quadrantes I e II que partem de
em
e aproximam-se de zero quando
.
Resposta
O gráfico de
consiste em dois ramos simétricos em relação ao eixo
:
- No intervalo
, a curva parte de em , passa por e e se aproxima de quando . - No intervalo
, há o ramo simétrico que parte de em , passa por e e se aproxima de quando .
As assíntotas são(vertical) e (horizontal).