Exercício 2.13 Um filtro rejeita-faixa (notch) deve ser projetado utilizando uma topologia RLC série (com a saída obtida sobre a associação série do indutor e do capacitor).
filtro deve rejeitar uma frequência de ruído de rede de 60 Hz e possuir uma largura de banda de 6 Hz . Sabendo que
, determine os valores exatos de
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tomei os números diretamente do enunciado):
- Topologia: circuito RLC em série, com a saída tomada sobre a associação série do indutor e do capacitor.
- Frequência de rejeição (frequência de notch):
. - Largura de banda (bandwidth):
. - Capacitância conhecida:
.
O que o problema pede:
- Determinar os valores de
e (valores exatos).
Passo 2
Entendimento físico e fórmulas básicas (passo-a-passo e sem pular etapas).
- Num circuito série com saída sobre o ramo
- em série, a impedância do par - é
Nessa topologia, em ressonância série o termo no parênteses anula-se e
, logo a tensão sobre
é zero — por isso temos uma rejeição (notch) em
.
- A frequência angular de ressonância é dada por
Aqui
.
- Para um circuito RLC série define-se o fator de qualidade
por
Outra definição equivalente é
, onde
é a largura de banda em rad/s; em Hz a largura de banda
satisfaz
.
- A relação prática que vamos usar (derivada das anteriores) é
Vou agora aplicar essas fórmulas aos números do enunciado.
Passo 3
Calcular
e o fator de qualidade
.
- Primeiro calcule a frequência angular de ressonância:
- Em seguida obtenha
usando :
Passo 4
Calcular indutância
usando
.
- Escrevendo explicitamente:
- Substituindo
:
- Se quiser uma aproximação numérica, calculando:
(essa aproximação serve para implementação prática; a expressão anterior é a forma exata em termos de
e
.)
Passo 5
Calcular resistência
usando
(forma direta e limpa).
- Escrevendo explicitamente:
- Avaliando numericamente:
Passo 6
Verificação rápida de consistência (sanity check) — confirmar que a largura de banda obtida confere com o dado:
- Para circuito série tem-se
. Usando os valores aproximados:
o que confere com a largura de banda dada (
). Bom sinal — valores coerentes.