Exercício 2.13 Um filtro rejeita-faixa (notch) deve ser projetado utilizando uma topologia RLC série (com a saída obtida sobre a associação série do indutor e do capacitor). O filtro deve rejeitar uma frequência de ruído de rede de 60 Hz e possuir uma largura de banda de 6 Hz . Sabendo que C=4,7 \mu F, determine os valores exatos de R e L.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tomei os números diretamente do enunciado):
  • Topologia: circuito RLC em série, com a saída tomada sobre a associação série do indutor e do capacitor.
  • Frequência de rejeição (frequência de notch): f_0 = 60\\ \text{Hz}.
  • Largura de banda (bandwidth): \text{BW} = 6\\ \text{Hz}.
  • Capacitância conhecida: C = 4{,}7\\ \mu\text{F} = 4{,}7\times10^{-6}\\ \text{F}.
O que o problema pede:
  • Determinar os valores de R e L (valores exatos).

Passo 2

Entendimento físico e fórmulas básicas (passo-a-passo e sem pular etapas).
  • Num circuito série com saída sobre o ramo L- C em série, a impedância do par L- C é
Z_{LC}=j\omega L+\frac{1}{j\omega C}=j\bigl(\omega L-\tfrac{1}{\omega C}\bigr).
Nessa topologia, em ressonância série o termo no parênteses anula-se e Z_{LC}=0, logo a tensão sobre LC é zero — por isso temos uma rejeição (notch) em f_0.
  • A frequência angular de ressonância é dada por
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Aqui \omega_0=2\pi f_0.
  • Para um circuito RLC série define-se o fator de qualidade Q por
Q=\frac{\omega_0 L}{R}.
Outra definição equivalente é Q=\dfrac{\omega_0}{\Delta\omega}, onde \Delta\omega é a largura de banda em rad/s; em Hz a largura de banda \text{BW} satisfaz \text{BW}=f_0/Q.
  • A relação prática que vamos usar (derivada das anteriores) é
L=\frac{1}{\omega_0^2 C} \qquad\text{e}\qquad R=\frac{\omega_0 L}{Q}=\frac{1}{Q\,\omega_0 C}.
Vou agora aplicar essas fórmulas aos números do enunciado.

Passo 3

Calcular \omega_0 e o fator de qualidade Q.
  • Primeiro calcule a frequência angular de ressonância:
\omega_0=2\pi f_0=2\pi\cdot60=120\pi\\ \text{rad/s}.
  • Em seguida obtenha Q usando \displaystyle Q=\frac{f_0}{\text{BW}}:
Q=\frac{60}{6}=10.

Passo 4

Calcular indutância L usando \displaystyle L=\frac{1}{\omega_0^2 C}.
  • Escrevendo explicitamente:
L=\frac{1}{(120\pi)^2\;C}=\frac{1}{14400\pi^2\;C}.
  • Substituindo C=4{,}7\times10^{-6}\\ \text{F}:
L=\frac{1}{14400\pi^2\cdot 4{,}7\times10^{-6}}\\ \text{H}.
  • Se quiser uma aproximação numérica, calculando:
L\approx 1{,}497\\ \text{H}.
(essa aproximação serve para implementação prática; a expressão anterior é a forma exata em termos de \pi e C.)

Passo 5

Calcular resistência R usando \displaystyle R=\frac{1}{Q\,\omega_0 C} (forma direta e limpa).
  • Escrevendo explicitamente:
R=\frac{1}{Q\,\omega_0\,C}=\frac{1}{10\cdot(120\pi)\cdot 4{,}7\times10^{-6}}\\ \Omega.
  • Avaliando numericamente:
R\approx 56{,}44\\ \Omega.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (sanity check) — confirmar que a largura de banda obtida confere com o dado:
  • Para circuito série tem-se \Delta f=\dfrac{R}{2\pi L}. Usando os valores aproximados:
\Delta f \approx \frac{56{,}44}{2\pi\cdot 1{,}497}\\ \text{Hz}\approx 6{,}00\\ \text{Hz},
o que confere com a largura de banda dada ( 6\\ \text{Hz}). Bom sinal — valores coerentes.

Resposta

L=\dfrac{1}{(120\pi)^2\cdot 4{,}7\times10^{-6}}\\ \text{H}\approx 1{,}497\\ \text{H}\n
R=\dfrac{1}{10\cdot 120\pi\cdot 4{,}7\times10^{-6}}\\ \Omega\approx 56{,}44\\ \Omega

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