Exercício 13. (Grubb ex. 2.5) Mostre que se
e
, então
Passo 1
O enunciado diz que
e que
. Queremos mostrar que
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo ao longo da direção
x1 e o fato de que
varphi se anula fora da bola de raio
R .
Passo 2
Fixe
x=(x1,x')inR^n , com
x'=(x2,dots,xn) . Considere o ponto
(R,x') . Como
segue que
(R,x')notin BR(0) e, portanto,
varphi(R,x')=0 . Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo na variável
x1 , temos
isto é,
Passo 3
Da igualdade anterior segue
Mas
já que
varphi(x)=0 sempre que
|x|>= R . Logo, para todo
x ,
Passo 4
Bastando tomar o supremo em
xinR^n do lado esquerdo, concluímos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.