Exercício 13. (Grubb ex. 2.5) Mostre que se varphi in Cc^infty(R^n) e supp(varphi) subset BR(0), então
sup x in R^n|varphi(x)| <= 2 R sup x in R^n|partialx1 varphi(x)|

Passo 1

O enunciado diz que varphiin Cc^infty(R^n) e que supp(varphi)subset BR(0)=xinR^n:|x|<R. Queremos mostrar que
supxinR^n|varphi(x)|;<=;2R;supxinR^nl|partialx1varphi(x)r|
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo ao longo da direção x1 e o fato de que varphi se anula fora da bola de raio R.

Passo 2

Fixe x=(x1,x')inR^n, com x'=(x2,dots,xn). Considere o ponto (R,x'). Como
l|(R,x')r| ;=;raizR^2+|x'|^2;>=;R,
segue que (R,x')notin BR(0) e, portanto, varphi(R,x')=0. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo na variável x1, temos
varphi(x1,x') -varphi(R,x') ;=;integralR^x1partialx1varphi(u,x'),du,
isto é,
varphi(x) ;=; -,integralx1^Rpartialx1varphi(u,x'),du

Passo 3

Da igualdade anterior segue
|varphi(x)| ;=; l|integralx1^Rpartialx1varphi(u,x'),dur| ;<=; integralx1^Rl|partialx1varphi(u,x')r|,du ;<=; l|R - x1r|;supyinR^nl|partialx1varphi(y)r|
Mas
l|R - x1r| ;<=; |R| + |x1| ;<=; R + |x| ;<=; R + R ;=; 2R,
já que varphi(x)=0 sempre que |x|>= R. Logo, para todo x,
|varphi(x)| ;<=; 2R;supyinR^nl|partialx1varphi(y)r|

Passo 4

Bastando tomar o supremo em xinR^n do lado esquerdo, concluímos
supxinR^n|varphi(x)| ;<=; 2R;supxinR^nl|partialx1varphi(x)r|,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

supxinR^n|varphi(x)| ;<=; 2R;supxinR^nl|partialx1varphi(x)r|

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