Verifique quais das seguintes aplicações são lineares:
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x, y)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon R^3 to R^2 definida por
T(x,y,z) = (x,y)
Queremos verificar se T é linear, isto é, se ela satisfaz as duas propriedades abaixo para quaisquer vetores (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) em R^3 e qualquer escalar alpha:
  1. Aditividade: Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2)
  2. Homogeneidade: Tl(alpha,(x1,y1,z1)r) = alpha,T(x1,y1,z1)

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
(x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em R^3. Então
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e, aplicando T,
T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = (,x1+x2,;y1+y2,)
Por outro lado,
T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2) = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2)
Logo
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alpha um escalar e (x,y,z) em R^3. Então
alpha,(x,y,z) = (alpha x,;alpha y,;alpha z),
e aplicando T,
T(alpha x,;alpha y,;alpha z) = (alpha x,;alpha y) = alpha,(x,y) = alpha,T(x,y,z)
Portanto
Tl(alpha,(x,y,z)r) = alpha,T(x,y,z)

Resposta

A aplicação Tcolon R^3 to R^2 definida por T(x,y,z)=(x,y) é linear.

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