Exercício 13 Um lote de 35 peças contém 20 peças conformes e 15 não conformes. Uma amostra de 10 peças é selecionada deste lote. Calcule a probabilidade de que se observe exatamente 5 peças defeituosas, considerando uma amostra
(a) ordenada com reposição;
(b) ordenada sem reposição;
© não ordenada.
(a) ordenada com reposição;
(b) ordenada sem reposição;
© não ordenada.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um lote com 35 peças, sendo 20 conformes (“boas”) e 15 não conformes (“defeituosas”). Vamos selecionar 10 peças e queremos a probabilidade de sair exatamente 5 defeituosas.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Amostra ordenada com reposição → distribuição binomial.
- Amostra ordenada sem reposição → probabilidade composta com contagem de permutações.
- Amostra não ordenada → distribuição hipergeométrica.
O que vamos precisar: fórmula da binomial, conceito de probabilidade condicional sem reposição e fórmula da hipergeométrica.
Passo 2
(a) Amostra ordenada com reposição
Aqui cada retirada é uma tentativa independente, pois devolvemos a peça antes da próxima. A probabilidade de tirar uma defeituosa em cada retirada é
Aqui cada retirada é uma tentativa independente, pois devolvemos a peça antes da próxima. A probabilidade de tirar uma defeituosa em cada retirada é
Como queremos exatamente
defeituosas em
tentativas, usamos a fórmula da distribuição binomial:
Aqui
. Isso já é a resposta para (a).
Passo 3
(b) Amostra ordenada sem reposição
Agora cada peça retirada não volta para o lote, então as probabilidades mudam a cada sorteio. Por exemplo, se no primeiro tiro saiu defeituosa, a chance é ; no segundo, se saiu outra defeituosa, passa a ser
, e assim por diante.
Agora cada peça retirada não volta para o lote, então as probabilidades mudam a cada sorteio. Por exemplo, se no primeiro tiro saiu defeituosa, a chance é
- Probabilidade de uma sequência específica de 5 defeituosas e 5 conformes (num dado padrão de ordem) é
- Mas como a gente não se importa em qual ordem elas aparecem, basta multiplicar esse valor pelo número de sequências que têm exatamente 5 defeitos:
. - Escrevendo em notação de “produtos decrescentes” (fatorial decrescente, também chamado de arranjo):
onde
.
Se você expandir e simplificar, acaba dando
Se você expandir e simplificar, acaba dando
Passo 4
© Amostra não ordenada (hipergeométrica)
Aqui só importa o grupo de 10 peças, não a ordem. A gente conta quantos jeitos de escolher 5 defeituosas de um total de 15 e 5 conformes de um total de 20, dividido pelo total de jeitos de escolher qualquer 10 de 35. Assim:
Aqui só importa o grupo de 10 peças, não a ordem. A gente conta quantos jeitos de escolher 5 defeituosas de um total de 15 e 5 conformes de um total de 20, dividido pelo total de jeitos de escolher qualquer 10 de 35. Assim:
Essa é a clássica fórmula da distribuição hipergeométrica.
Resposta
(a) .
(b)
© .
(b)
©