Exercício 13 Um lote de 35 peças contém 20 peças conformes e 15 não conformes. Uma amostra de 10 peças é selecionada deste lote. Calcule a probabilidade de que se observe exatamente 5 peças defeituosas, considerando uma amostra
(a) ordenada com reposição;
(b) ordenada sem reposição;
© não ordenada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um lote com 35 peças, sendo 20 conformes (“boas”) e 15 não conformes (“defeituosas”). Vamos selecionar 10 peças e queremos a probabilidade de sair exatamente 5 defeituosas.
Conteúdo envolvido:
  • Amostra ordenada com reposição → distribuição binomial.
  • Amostra ordenada sem reposição → probabilidade composta com contagem de permutações.
  • Amostra não ordenada → distribuição hipergeométrica.
    O que vamos precisar: fórmula da binomial, conceito de probabilidade condicional sem reposição e fórmula da hipergeométrica.

Passo 2

(a) Amostra ordenada com reposição
Aqui cada retirada é uma tentativa independente, pois devolvemos a peça antes da próxima. A probabilidade de tirar uma defeituosa em cada retirada é
p = 1535 = 37, q = 1 - p = 47
Como queremos exatamente P(X=5) = binom105,p^5,q^5 = binom105,l(tfrac37r)^5,l(tfrac47r)^5 defeituosas em tentativas, usamos a fórmula da distribuição binomial:
Aqui . Isso já é a resposta para (a).

Passo 3

(b) Amostra ordenada sem reposição
Agora cada peça retirada não volta para o lote, então as probabilidades mudam a cada sorteio. Por exemplo, se no primeiro tiro saiu defeituosa, a chance é 1535;1434;1333;1232;1131 ;times; 2030;1929;1828;1727;1626 ; no segundo, se saiu outra defeituosa, passa a ser P = binom105,(15)5,(20)5(35)10, , e assim por diante.
  1. Probabilidade de uma sequência específica de 5 defeituosas e 5 conformes (num dado padrão de ordem) é
P = binom105,15cdot14cdot13cdot12cdot11;times;20cdot19cdot18cdot17cdot16 35cdot34cdot33cdot32cdot31;times;30cdot29cdot28cdot27cdot26
  1. Mas como a gente não se importa em qual ordem elas aparecem, basta multiplicar esse valor pelo número de sequências que têm exatamente 5 defeitos: .
  2. Escrevendo em notação de “produtos decrescentes” (fatorial decrescente, também chamado de arranjo):
onde .
Se você expandir e simplificar, acaba dando

Passo 4

© Amostra não ordenada (hipergeométrica)
Aqui só importa o grupo de 10 peças, não a ordem. A gente conta quantos jeitos de escolher 5 defeituosas de um total de 15 e 5 conformes de um total de 20, dividido pelo total de jeitos de escolher qualquer 10 de 35. Assim:
P = binom155,binom205binom3510
Essa é a clássica fórmula da distribuição hipergeométrica.

Resposta

(a) .
(b)
© .

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