Exercício 16 No jogo da megasena, são sorteados 6 números dentre os números de 1 a 60 . Um apostador deve marcar em cada bilhete entre 6 e 15 números.
(a) Qual é a probabilidade de que um apostador acerte os 6 números sorteados sabendo que ele apostou apenas 1 bilhete com 6 números? E se ele apostar um bilhete com 7 números? Em quantas vezes ele aumentou sua chance de ganhar?
(b) Qual a probabilidade de que um apostador acerte exatamente 3 números apostando apenas 1 bilhete com 6 números?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: na Mega-Sena são sorteados 6 números dentre 1 e 60. Quem joga marca de 6 a 15 números.
(a) Queremos a probabilidade de acertar os 6 números jogando um bilhete de 6 números e de 7 números, e ver quantas vezes a chance aumentou.
(b) Queremos a probabilidade de acertar exatamente 3 números com um bilhete de 6 números.
Conteúdo: probabilidade clássica usando combinação (coeficiente binomial). A ideia é contar quantos resultados “boas” existem sobre o total de resultados possíveis.

Passo 2

(a.1) Apostando 6 números:
  • Total de jeitos de escolher 6 dentre 60: P6 = 1binom606 .
  • Só existe 1 jeito de escolher exatamente os 6 sorteados.
    Então
P6approx1.998times10^-8
Como , fica

Passo 3

(a.2) Apostando 7 números:
  • Pra acertar os 6 sorteados, você escolhe os 6 certos ( P7=binom66,binom541binom607 =54binom607 ) e 1 errado entre os 54 que não saíram ( P7=7binom606=7,P6approx7times1.998times10^-8 approx1.3986times10^-7 ).
  • Total de jeitos de escolher 7 dentre 60: .
Usando a identidade , dá
Logo a chance aumentou em 7 vezes.

Passo 4

(b) Exatamente 3 acertos com 6 números:
  • Você escolhe 3 dos 6 sorteados: Pexato 3 =binom63,binom543binom606 .
  • Você escolhe 3 dos 54 não sorteados: Pexato 3 =20times24,80450,063,860 approx0.00991(approx0,991%) .
  • Total de jeitos de escolher 6 dentre 60: .
Calculando e , com ,

Resposta

(a)
  • Bilhete de 6 números: Pexato 3 =binom63,binom543binom606 approx0.00991;(0,991%)
  • Bilhete de 7 números:
  • Aumento de chance: vezes.
(b)
  • Probabilidade de acertar exatamente 3:

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