Questão 4: (2.5 pontos)
Considere a equação
para
e
.
(a) Encontre todas as soluções nāo triviais da forma
que satisfazem as condições de contorno
.
(b) Encontre a solução que satisfaz as mesmas condições de contorno e também as condições iniciais
e
.
Considere a equação
(a) Encontre todas as soluções nāo triviais da forma
(b) Encontre a solução que satisfaz as mesmas condições de contorno e também as condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá a equação
para
,
, e pede duas coisas:
-
(a) Encontrar todas as soluções não triviais da forma separável
que satisfazem as condições de contorno . -
(b) Entre essas soluções (e combinações lineares delas), achar a solução que também satisfaz as condições iniciais
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
e contorno de Dirichlet homogêneo:
Passo 2
Assumimos separação de variáveis:
com
função só de
e
só de
. Substituímos na PDE:
Dividindo por
(supondo
não nulas identicamente) obtemos
Afixamos uma constante de separação
(escolha padrão que deixa a equação temporal na forma de oscilador):
e então
Explicando: escolhemos o sinal de forma que a equação temporal fique
;
será determinado pelas condições de contorno no espaço.
Passo 3
Agora resolvemos o problema espacial com as condições de contorno:
Definimos
. A equação espacial fica
Analisamos os três casos para
:
-
(i.e. imaginário): então é combinação de exponenciais reais e com só a solução trivial ocorre. Portanto sem soluções não-triviais. -
: então e . As condições e forçam . Só solução trivial. -
: escrevemos real. A solução geral é
A condição
dá
. Então
. A condição
exige
, logo
Portanto
e, lembrando
, obtemos os autovalores
e os autofunções espaciais correspondentes (não nulas) são, à constante multiplicativa,
Observação: mostramos por que os outros casos não dão soluções não-triviais — esse é o passo padrão em problemas com contorno homogêneo.
Passo 4
Agora resolvemos a equação temporal para cada
:
Como
, a frequência angular é
A solução geral para
é
Combinação espaço-tempo dá as soluções separáveis não-triviais (modulo multiplicativos) para cada
:
Essas são as “modos” elementares; pela linearidade da PDE qualquer combinação linear (soma infinita) desses modos também é solução.
Passo 5
Resumindo a resposta do item (a): todas as soluções separáveis não-triviais que satisfazem
são exatamente os modos
com
constantes arbitrárias. (E somas destes modos também são soluções.)
Passo 6
Agora (b): queremos a solução que satisfaz as mesmas condições de contorno e, além disso,
Pelo princípio da superposição, buscamos solução na forma de série em modos:
Aplicando
obtemos
Pela independência linear das funções
, isso força
Agora
, e com
fica em
Queremos
. Portanto precisamos expandir a função constante
na base
:
onde os coeficientes
são dados pela fórmula da série de Fourier seno (usando ortogonalidade):
Passo 7
Calcule o integral para
:
Portanto
Sabemos
, então
Isso dá
para
par e
para
ímpar.
Voltando à igualdade que desejamos,
pela unicidade da expansão em senos obtemos, para cada
,
Substituindo
e
, obtemos
Para
par:
. Para
ímpar:
Portanto a solução pedida (com
) é
Podemos escrever a soma apenas sobre ímpares
:
Resposta
(a)
(constantes
).
(b)