\begin{aligned} & f(x)= \begin{cases}x, & \text { se }-\pi \leq x<0 \\\ \pi-x, & \text { se } 0 \leq x<\pi\end{cases} \\\ & f(x+2 \pi)=f(x) \text { para todo } x \in \mathbb{R} . \end{aligned}
(a) Determine a série de Fourier S F(f) da função f.
(b) Calcule a soma da série de Fourier de f para x=7.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar a série de Fourier SF(f)\) da função periódica \(f\) definida por
\[f(x)=\begin{cases} x, & \text{se } -\pi \le x<0,\\[4pt] \pi-x, & \text{se } 0\le x<\pi, \end{cases} \qquad f(x+2\pi)=f(x)\text{ para todo }x\in\mathbb{R}.
(b) Calcular a soma da série de Fourier de f\] no ponto \(x=7.
Vou calcular a_0,\;a_n,\;b_n usando a definição peça-por-peça de f. Sempre que precisar de integração por partes, vou explicar o procedimento: para integrar \int u\,dv escolhemos u e dv, então \int u\,dv = uv - \int v\,du.
A primeira integral é zero porque \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\dfrac{\sin(nx)}{n}\Big|_0^{\pi}=0. Para a segunda usamos integração por partes com u=x, dv=\cos(nx)\,dx, obtendo (como em I_1)
(Essa é a série no formato usual; também poderíamos escrever somando em n com a condição de n ímpar.)
Passo 8
Agora (b): soma da série de Fourier no ponto x=7.
Observação: a série de Fourier de uma função periódica e peça-por-peça contínua converge no ponto x ao valor f(x) se f for contínua em x; se houver descontinuidade, a série converge à média dos limites laterais. Aqui x=7 não é um ponto de descontinuidade (já que a função é contínua em todo (-\pi,\pi) interiormente e depois periodicamente), então a soma da série em x=7 é simplesmente f(7).
Usamos a periodicidade para reduzir 7 ao representante em [-\pi,\pi) ou em [0,\pi). Note que
7-2\pi = 7-2\pi \quad\text{(exatamente)}.
Como 2\pi\approx 6{,}283<7, temos 7-2\pi\in(0,\pi). Assim o representante no intervalo [0,\pi) é x_0=7-2\pi, e pelo enunciado em [0,\pi) vale f(x)=\pi-x. Logo