Questão 3: (2.5 pontos)
Seja
\begin{aligned} & f(x)= \begin{cases}x, & \text { se }-\pi \leq x<0 \\\ \pi-x, & \text { se } 0 \leq x<\pi\end{cases} \\\ & f(x+2 \pi)=f(x) \text { para todo } x \in \mathbb{R} . \end{aligned}
(a) Determine a série de Fourier S F(f) da função f.
(b) Calcule a soma da série de Fourier de f para x=7.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a série de Fourier SF(f)\) da função periódica \(f\) definida por \[f(x)=\begin{cases} x, & \text{se } -\pi \le x<0,\\[4pt] \pi-x, & \text{se } 0\le x<\pi, \end{cases} \qquad f(x+2\pi)=f(x)\text{ para todo }x\in\mathbb{R}.
  2. (b) Calcular a soma da série de Fourier de f\] no ponto \(x=7.
Informações relevantes dadas:
\text{domínio base: }[-\pi,\pi),\qquad\text{período: }2\pi,íí
e os valores de f em [-\pi,0) e em [0,\pi) conforme escrito acima. A função é peça-por-peça dada e periódica.]

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula padrão da série de Fourier (no intervalo [-\pi,\pi]):
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde as coeficientes são
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Vou calcular a_0,\;a_n,\;b_n usando a definição peça-por-peça de f. Sempre que precisar de integração por partes, vou explicar o procedimento: para integrar \int u\,dv escolhemos u e dv, então \int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 3

Cálculo de a_0.
a_0=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0} x\,dx + \int_{0}^{\pi} (\pi-x)\,dx\right).
Calculemos cada integral:
\int_{-\pi}^{0} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{-\pi}^{0}=0-\frac{\pi^2}{2}=-\frac{\pi^2}{2},
\int_{0}^{\pi} (\pi-x)\,dx=\left.\pi x-\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{\pi}=\pi^2-\frac{\pi^2}{2}=\frac{\pi^2}{2}.
Somando, o integral total é 0. Portanto
a_0=0.

Passo 4

Cálculo de a_n. Escrevemos
a_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0} x\cos(nx)\,dx + \int_{0}^{\pi} (\pi-x)\cos(nx)\,dx\right).
Denotemos
I_1=\int_{-\pi}^{0} x\cos(nx)\,dx,\qquad I_2=\int_{0}^{\pi} (\pi-x)\cos(nx)\,dx.
Calcule I_1 por partes: escolha u=x e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
I_1=\left.\frac{x\sin(nx)}{n}\right|_{- \pi}^{0}-\int_{- \pi}^{0}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx.
A primeira parcela é zero porque \sin(0)=0 e \sin(-n\pi)=0. Então
I_1=-\frac{1}{n}\int_{- \pi}^{0}\sin(nx)\,dx.
Integrando \sin(nx): \int\sin(nx)\,dx=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
I_1=-\frac{1}{n}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{- \pi}^{0}=\frac{1}{n^2}\bigl(\cos(0)-\cos(-n\pi)\bigr)=\frac{1}{n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).

Passo 5

Agora calcule I_2:
I_2=\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)\,dx=\pi\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx-\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx.
A primeira integral é zero porque \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\dfrac{\sin(nx)}{n}\Big|_0^{\pi}=0. Para a segunda usamos integração por partes com u=x, dv=\cos(nx)\,dx, obtendo (como em I_1)
\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx=\left.\frac{x\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx.
A parcela com x\sin(nx) também é zero (porque \sin(n\pi)=0 e \sin(0)=0). Logo
\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Mas \int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}=\frac{1}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr). Portanto
\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr)=-\frac{1}{n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Assim
I_2=0 - \left(-\frac{1}{n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr)\right)=\frac{1}{n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Portanto I_1+I_2= \dfrac{2}{n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr), e
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr)=\frac{2}{\pi n^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Observe a paridade: se n é par então (-1)^n=1 e a_n=0. Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e
a_n=\frac{2}{\pi n^2}(1-(-1))=\frac{4}{\pi n^2}\quad\text{(para \(n\) ímpar).}í

Passo 6

Cálculo de b_n. Escrevemos
b_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0} x\sin(nx)\,dx + \int_{0}^{\pi} (\pi-x)\sin(nx)\,dx\right).
Denotemos J_1=\int_{-\pi}^{0} x\sin(nx)\,dx e J_2=\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx.
Calcule J_1 por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então v=-\dfrac{\cos(nx)}{n} e
J_1=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{- \pi}^{0}+\frac{1}{n}\int_{- \pi}^{0}\cos(nx)\,dx.
A primeira parcela vale
-\frac{0\cdot\cos 0}{n} -\left(-\frac{(-\pi)\cos(-n\pi)}{n}\right) = -\frac{\pi}{n}(-1)^n.
A segunda parcela é \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{\sin(nx)}{n}\Big|_{- \pi}^{0}=\dfrac{1}{n^2}(0-0)=0. Logo
J_1=-\frac{\pi}{n}(-1)^n.
Agora J_2:
J_2=\pi\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx - \int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
A primeira parte é, como calculado antes,
\pi\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\pi\cdot\frac{1}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Para \int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx usamos integração por partes (mesmo tipo de cálculo que em J_1) e obtemos
\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx=-\frac{\pi}{n}(-1)^n.
Portanto
J_2=\pi\cdot\frac{1}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr) -\bigl(-\frac{\pi}{n}(-1)^n\bigr) = \frac{\pi}{n}\bigl(1-(-1)^n +(-1)^n\bigr)=\frac{\pi}{n}.
Somando J_1+J_2 temos
J_1+J_2=-\frac{\pi}{n}(-1)^n + \frac{\pi}{n}=\frac{\pi}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Assim
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr)=\frac{1}{n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
De novo, para n par temos b_n=0. Para n ímpar (-1)^n=-1 e
b_n=\frac{1}{n}(1-(-1))=\frac{2}{n}\quad\text{(para \(n\) ímpar).}í

Passo 7

Juntando os coeficientes, a_0=0, e apenas os termos de n ímpar sobrevivem. Para escrever de forma limpa, coloque n=2m-1 ( m=1,2,\dots). Então
a_{2m-1}=\frac{4}{\pi(2m-1)^2},\qquad b_{2m-1}=\frac{2}{2m-1}.
A série de Fourier fica (somando só sobre m):
\boxed{\,f(x)\sim \sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{4}{\pi(2m-1)^2}\cos\bigl((2m-1)x\bigr)+\frac{2}{2m-1}\sin\bigl((2m-1)x\bigr)\right).\,}
(Essa é a série no formato usual; também poderíamos escrever somando em n com a condição de n ímpar.)

Passo 8

Agora (b): soma da série de Fourier no ponto x=7.
Observação: a série de Fourier de uma função periódica e peça-por-peça contínua converge no ponto x ao valor f(x) se f for contínua em x; se houver descontinuidade, a série converge à média dos limites laterais. Aqui x=7 não é um ponto de descontinuidade (já que a função é contínua em todo (-\pi,\pi) interiormente e depois periodicamente), então a soma da série em x=7 é simplesmente f(7).
Usamos a periodicidade para reduzir 7 ao representante em [-\pi,\pi) ou em [0,\pi). Note que
7-2\pi = 7-2\pi \quad\text{(exatamente)}.
Como 2\pi\approx 6{,}283<7, temos 7-2\pi\in(0,\pi). Assim o representante no intervalo [0,\pi) é x_0=7-2\pi, e pelo enunciado em [0,\pi) vale f(x)=\pi-x. Logo
f(7)=f(7-2\pi)=\pi-(7-2\pi)=3\pi-7.

Resposta

f(x)\sim \sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{4}{\pi(2m-1)^2}\cos\bigl((2m-1)x\bigr)+\frac{2}{2m-1}\sin\bigl((2m-1)x\bigr)\right)
\text{Soma da série em }x=7:\quad 3\pi-7é

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