Exercício 15. Calcular a distância entre as retas abaixo

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas
r1: x=-1+t, y=3-2t, z=-1-t e r2: y = x - 3, z = -x + 1
O conteúdo usado será a fórmula da distância entre retas em R^3 não paralelas nem concorrentes, que é
d = l|l(P1P2r)cdot(d1timesd2)r||d1timesd2|,
onde d1 e d2 são os vetores diretores e P1in r1, P2in r2.

Passo 2

Parametrizamos a reta r2. Seja s o parâmetro de r2. Então
x = s, y = s-3, z = -s+1
Um ponto em r2 é, por exemplo, P2 = (0,-3,1) (para s=0), e o vetor diretor é
d2 = (1,1,-1)

Passo 3

Na reta r1, tomando o parâmetro t=0, um ponto é
P1 = (-1,3,-1)
e o vetor diretor é
d1 = (1,-2,-1)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial d1timesd2.
d1timesd2 = i & j & k 1 & -2 & -1 1 & 1 & -1 = (3,,0,,3)
O módulo desse vetor é
|d1timesd2| = raiz3^2 + 0^2 + 3^2 = 3raiz2

Passo 5

Formamos o vetor que liga P1 a P2:
P1P2 = P2 - P1 = (1,,-6,,2)
O produto escalar com d1timesd2 é
(1,-6,2)cdot(3,0,3) = 1cdot3 + (-6)cdot0 + 2cdot3 = 9

Passo 6

Finalmente, a distância é
d = l|9r|3raiz2 = 93raiz2 = 3raiz2 = 3raiz22

Resposta

3raiz22

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