Exercício 17.
Mostre que se
e
são funções de distribuição então
, com 0
, é uma função de distribuição.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções de distribuição
e
e um parâmetro
com
, a combinação convexa
é também uma função de distribuição.
Para ser função de distribuição, deve satisfazer:
Para ser função de distribuição,
- ser não decrescente;
- ser contínua à direita;
-
e .
Passo 2
(Provar não decrescimento)
Como e
são não decrescentes, sempre que
valem
Como
Multiplicando a primeira desigualdade por
e a segunda por
e somando, obtemos
ou seja,
Logo,
é não decrescente.
Passo 3
(Provar continuidade à direita)
Como e
são contínuas à direita, para todo
vale
Como
Pela linearidade do limite,
Logo,
é contínua à direita.
Passo 4
(Provar os limites nos extremos)
Usando e
, temos
Usando
De modo semelhante, com
e
,
Resposta
Portanto,
satisfaz todas as propriedades de uma função de distribuição.