Exercício 17.
Mostre que se F e G são funções de distribuição então lambda F+(1-lambda) G, com 0 <= lambda <= 1, é uma função de distribuição.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções de distribuição F e G e um parâmetro lambda com 0<=lambda<=1, a combinação convexa
H(x)=lambda F(x)+(1-lambda)G(x)
é também uma função de distribuição.
Para ser função de distribuição, H deve satisfazer:
  1. ser não decrescente;
  2. ser contínua à direita;
  3. limxto-inftyH(x)=0 e limxto+inftyH(x)=1.

Passo 2

(Provar não decrescimento)
Como F e G são não decrescentes, sempre que x<y valem
F(x)<= F(y), G(x)<= G(y)
Multiplicando a primeira desigualdade por lambda>=0 e a segunda por (1-lambda)>=0 e somando, obtemos
lambda F(x)+(1-lambda)G(x) ;<=; lambda F(y)+(1-lambda)G(y),
ou seja,
H(x)<= H(y)
Logo, H é não decrescente.

Passo 3

(Provar continuidade à direita)
Como F e G são contínuas à direita, para todo x vale
limtto x^+F(t)=F(x), limtto x^+G(t)=G(x)
Pela linearidade do limite,
limtto x^+H(t) =limtto x^+l[lambda F(t)+(1-lambda)G(t)r] =lambda F(x)+(1-lambda)G(x) =H(x)
Logo, H é contínua à direita.

Passo 4

(Provar os limites nos extremos)
Usando limxto-inftyF(x)=0 e limxto-inftyG(x)=0, temos
limxto-inftyH(x) =lambdacdot0+(1-lambda)cdot0 =0
De modo semelhante, com limxto+inftyF(x)=1 e limxto+inftyG(x)=1,
limxto+inftyH(x) =lambdacdot1+(1-lambda)cdot1 =1

Resposta

Portanto, H(x)=lambda F(x)+(1-lambda)G(x) satisfaz todas as propriedades de uma função de distribuição.

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