Exercício 1.4.14. Quantas permutações dos algarismos 1,2, cdots, 9 têm exatamente três números em suas posições naturais?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações dos dígitos de 1 a 9 que têm exatamente três pontos fixos, ou seja, exatamente três dígitos ocupam sua posição natural. O conteúdo é contagem combinatória com permutações e derangements.

Passo 2

Primeiro escolhemos quais serão as três posições que ficam fixas. Como são 9 posições e queremos exatamente 3 delas fixas, isso pode ser feito de
binom93
maneiras.

Passo 3

Nos 6 dígitos restantes não pode haver ponto fixo (nenhum dígito em posição natural). O número de permutações sem ponto fixo de 6 elementos é o derangement !6, dado por
!6 = 6! sumk=0^6 (-1)^kk! =720l(1-1+tfrac12-tfrac16+tfrac124-tfrac1120+tfrac1720r) =265

Passo 4

Multiplicando as escolhas de quais 3 ficam fixas pelo número de derangements dos outros 6, obtemos
binom93times 265 = 84 times 265 = 22260

Resposta

,22260

Exercícios relacionados