Exercício 1.4.14. Quantas permutações dos algarismos
têm exatamente três números em suas posições naturais?
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações dos dígitos de
a
que têm exatamente três pontos fixos, ou seja, exatamente três dígitos ocupam sua posição natural. O conteúdo é contagem combinatória com permutações e derangements.
Passo 2
Primeiro escolhemos quais serão as três posições que ficam fixas. Como são
posições e queremos exatamente
delas fixas, isso pode ser feito de
maneiras.
Passo 3
Nos
dígitos restantes não pode haver ponto fixo (nenhum dígito em posição natural). O número de permutações sem ponto fixo de
elementos é o derangement
, dado por
Passo 4
Multiplicando as escolhas de quais
ficam fixas pelo número de derangements dos outros
, obtemos