Exercício 13. Quatro casais de uma determinada espécie de pássaro fizeram ninhos na última estação. Denote por
o número de ovos colocados em um ninho, e por
o número de ovos que foram chocados no ninho. Suponha que nos quatro ninhos mencionados tenhamos observado
e
. Imagine agora que nesta estação um outro casal da mesma espécie, e sob condições similares, tenha colocado
ovos. Denote por
a probabilidade de um ovo chocar.
(a) Apresente a função de verossimilhança para
, com base nas observações
;
(b) Apresente a priori conjugada à verossimilhança acima que na sua opinião seja adequada, e obtenha a distribuição a posteriori de
;
(c) Justifique um modelo probabilístico para
, número de ovos chocados no quinto ninho, e apresente sua distribuição preditiva.
(a) Apresente a função de verossimilhança para
(b) Apresente a priori conjugada à verossimilhança acima que na sua opinião seja adequada, e obtenha a distribuição a posteriori de
(c) Justifique um modelo probabilístico para
Passo 1
O enunciado supõe que, para cada ninho
, o número de ovos chocados
segue um modelo binomial com tamanho
e probabilidade de sucesso
, isto é,
com
e
. Precisamos (a) montar a verossimilhança em
, (b) escolher uma priori conjugada e obter a posteriori e (c) justificar um modelo para
com
e apresentar sua distribuição preditiva.
Passo 2
Como os quatro ninhos são independentes, a função de verossimilhança é
Como
e
, podemos simplificar:
Passo 3
A priori conjugada para o binomial é a distribuição Beta. Escolhemos
pois assim a posteriori será também Beta. Aplicando o teorema de Bayes,
Logo,
Em particular, se adotarmos a priori uniforme
, fica
Passo 4
Para o quinto ninho, sob as mesmas condições e com
, faz sentido assumir
pois cada ovo choca com probabilidade
de forma independente. A distribuição preditiva marginal obtida pela lei da mistura é a binomial-beta (Beta-binomial):
Em especial, para a priori
, temos
Resposta
(a)
(b)
Priors conjugada .
Posteriori
Priors conjugada
Posteriori
em particular, com
,
.
(c)
Modelo para :
Modelo para
Distribuição preditiva (Beta-binomial):