Exercício 13. Quatro casais de uma determinada espécie de pássaro fizeram ninhos na última estação. Denote por n o número de ovos colocados em um ninho, e por Y o número de ovos que foram chocados no ninho. Suponha que nos quatro ninhos mencionados tenhamos observado n=(2,3,3,4) e \boldsymbol{y}=(1,2,3,3). Imagine agora que nesta estação um outro casal da mesma espécie, e sob condições similares, tenha colocado n_{5}=3 ovos. Denote por \theta a probabilidade de um ovo chocar.
(a) Apresente a função de verossimilhança para \theta, com base nas observações \boldsymbol{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}\right);
(b) Apresente a priori conjugada à verossimilhança acima que na sua opinião seja adequada, e obtenha a distribuição a posteriori de \theta \mid \boldsymbol{y};
(c) Justifique um modelo probabilístico para Y_{5}, número de ovos chocados no quinto ninho, e apresente sua distribuição preditiva.

Passo 1

O enunciado supõe que, para cada ninho i, o número de ovos chocados Y_{i} segue um modelo binomial com tamanho n_{i} e probabilidade de sucesso \theta, isto é,
Y_{i}\mid\theta\sim\mathrm{Binomial}(n_{i},\theta),
com n=(2,3,3,4) e \boldsymbol{y}=(1,2,3,3). Precisamos (a) montar a verossimilhança em \theta, (b) escolher uma priori conjugada e obter a posteriori e (c) justificar um modelo para Y_{5} com n_{5}=3 e apresentar sua distribuição preditiva.

Passo 2

Como os quatro ninhos são independentes, a função de verossimilhança é
L(\theta;\boldsymbol{y}) =\prod_{i=1}^{4}\binom{n_{i}}{y_{i}}\;\theta^{y_{i}}\,(1-\theta)^{\,n_{i}-y_{i}} =\Bigl[\prod_{i=1}^{4}\binom{n_{i}}{y_{i}}\Bigr]\;\theta^{\sum_{i}y_{i}}\,(1-\theta)^{\sum_{i}(n_{i}-y_{i})}.
Como \sum_{i}y_{i}=1+2+3+3=9 e \sum_{i}(n_{i}-y_{i})=3, podemos simplificar:
L(\theta;\boldsymbol{y}) \propto \theta^{9}\,(1-\theta)^{3}.

Passo 3

A priori conjugada para o binomial é a distribuição Beta. Escolhemos
\theta\sim\mathrm{Beta}(\alpha,\beta),
pois assim a posteriori será também Beta. Aplicando o teorema de Bayes,
\pi(\theta\mid \boldsymbol{y}) \propto \theta^{\alpha-1}\,(1-\theta)^{\beta-1}\;\times\;\theta^{9}\,(1-\theta)^{3} =\theta^{(\alpha+9)-1}\,(1-\theta)^{(\beta+3)-1}.
Logo,
\theta\mid \boldsymbol{y}\sim\mathrm{Beta}(\alpha+9,\;\beta+3).
Em particular, se adotarmos a priori uniforme \mathrm{Beta}(1,1), fica
\theta\mid \boldsymbol{y}\sim\mathrm{Beta}(10,4).

Passo 4

Para o quinto ninho, sob as mesmas condições e com n_{5}=3, faz sentido assumir
Y_{5}\mid\theta\sim\mathrm{Binomial}(3,\theta),
pois cada ovo choca com probabilidade \theta de forma independente. A distribuição preditiva marginal obtida pela lei da mistura é a binomial-beta (Beta-binomial):
P(Y_{5}=y_{5}\mid \boldsymbol{y}) =\int_{0}^{1} \binom{3}{y_{5}}\theta^{y_{5}}(1-\theta)^{3-y_{5}}\; \frac{\theta^{\alpha+9-1}(1-\theta)^{\beta+3-1}}{B(\alpha+9,\beta+3)}\,d\theta
= \binom{3}{y_{5}}\, \frac{B(\alpha+9+y_{5},\;\beta+3+3-y_{5})}{B(\alpha+9,\beta+3)}.
Em especial, para a priori \mathrm{Beta}(1,1), temos
P(Y_{5}=y_{5}\mid \boldsymbol{y}) =\binom{3}{y_{5}}\, \frac{B(10+y_{5},\,4+3-y_{5})}{B(10,4)}.

Resposta

(a)
L(\theta;\boldsymbol{y}) =\prod_{i=1}^{4}\binom{n_{i}}{y_{i}}\;\theta^{9}\,(1-\theta)^{3}.
(b)
Priors conjugada \theta\sim\mathrm{Beta}(\alpha,\beta).
Posteriori
\theta\mid \boldsymbol{y}\sim\mathrm{Beta}(\alpha+9,\beta+3),
em particular, com \alpha=\beta=1, \mathrm{Beta}(10,4).
(c)
Modelo para Y_{5}:
Y_{5}\mid\theta\sim\mathrm{Binomial}(3,\theta).
Distribuição preditiva (Beta-binomial):
P(Y_{5}=y_{5}\mid \boldsymbol{y}) =\binom{3}{y_{5}}\, \frac{B(\alpha+9+y_{5},\,\beta+3+3-y_{5})}{B(\alpha+9,\beta+3)}.

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