Exercício 14. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \gamma \sim N(\mu, 1 / \gamma), i= 1,2, \ldots, n, em que a média \mu é conhecida. Suponha que, a priori, \gamma \sim \chi_{r}^{2}. Se o coeficiente de variação a priori de \gamma for 0,5 , qual deve ser o tamanho da amostra para garantir que o coeficiente de variação a posteriori de \gamma reduza para 0,1 ? Prove. Dica: O coeficiente de variação de uma variável aleatória W corresponde a \sqrt{\operatorname{Var}(W)} /|E(W)|.

Passo 1

O enunciado define o modelo
\,X_i\mid\gamma\sim N(\mu,1/\gamma), com média \mu conhecida, e a priori
\gamma\sim\chi^2_r. Queremos achar o tamanho de amostra n tal que o coeficiente de variação a posteriori de \gamma seja 0,1, sabendo que o coeficiente de variação a priori é 0,5. Vamos usar a definição de coeficiente de variação
\mathrm{CV}(W)=\frac{\sqrt{\Var(W)}}{\bigl|E(W)\bigr|},
e as propriedades da distribuição qui-quadrado (que é uma gamma conjugada neste caso).

Passo 2

Para \gamma\sim\chi^2_r sabemos que isso equivale a
\gamma\sim\Gamma\bigl(\alpha=\tfrac r2,\;\beta=\tfrac12\bigr)
onde \beta é a taxa (rate). Logo
E(\gamma)=\frac{\alpha}{\beta}=\frac{r/2}{1/2}=r, \qquad \Var(\gamma)=\frac{\alpha}{\beta^2}=\frac{r/2}{(1/2)^2}=2r.
Assim o coeficiente de variação a priori é
\mathrm{CV}_{\rm prior} =\frac{\sqrt{\Var(\gamma)}}{E(\gamma)} =\frac{\sqrt{2r}}{r} =\sqrt{\frac{2}{r}}.
Como foi dado \mathrm{CV}_{\rm prior}=0,5, temos
\sqrt{\frac{2}{r}}=0,5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{r}=0,25 \quad\Longrightarrow\quad r=8.

Passo 3

Pela conjugação, a verossimilhança em \gamma de n observações X_i traz um fator \gamma^{n/2}\exp\bigl(-\tfrac{\gamma}{2}\sum (X_i-\mu)^2\bigr). Com a priori \Gamma(\tfrac r2,\tfrac12), a posterior é
\gamma\mid X_{1:n}\;\sim\; \Gamma\!\bigl(\alpha_{\rm post}=\tfrac r2+\tfrac n2,\;\beta_{\rm post}=\tfrac12+\tfrac1{2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\bigr).
Mas o coeficiente de variação de uma \Gamma(\alpha,\beta) é
\mathrm{CV} =\frac{\sqrt{\alpha/\beta^2}}{\alpha/\beta} =\frac{1}{\sqrt{\alpha}}.
Logo, independentemente de \beta_{\rm post},
\mathrm{CV}_{\rm post} =\frac{1}{\sqrt{\alpha_{\rm post}}} =\frac{1}{\sqrt{\tfrac r2+\tfrac n2}} =\sqrt{\frac{2}{r+n}}.
Com r=8, isso fica \mathrm{CV}_{\rm post}=\sqrt{2/(n+8)}.

Passo 4

Queremos \mathrm{CV}_{\rm post}=0,1, então
\sqrt{\frac{2}{n+8}}=0,1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{n+8}=0,01 \quad\Longrightarrow\quad n+8=200 \quad\Longrightarrow\quad n=192.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é n=192.

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