Exercício 13.8. Uma solução da edo
para
é
. Encontre um conjunto fundamental de soluções.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de Euler-Cauchy de terceira ordem
em que já conhecemos uma solução
. Queremos achar duas soluções independentes adicionais para formar um conjunto fundamental. Vamos usar o método de equação de Euler, supondo uma solução do tipo
.
Passo 2
Para
temos
Substituindo na EDO e extraindo o fator comum
(que nunca é zero para
), obtemos o polinômio característico
Passo 3
Expandindo e simplificando esse polinômio temos
cuja raízes são
. Como são distintas, as soluções associadas são
.
Passo 4
Portanto, além de
, obtemos duas soluções independentes
e
,
que juntamente formam um conjunto fundamental de soluções.
que juntamente formam um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
Um conjunto fundamental é
.