Exercício 13.8. Uma solução da edo x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+6 x y^prime-6 y=0 para x>0 é phi1(x)=x. Encontre um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de Euler-Cauchy de terceira ordem
x^3y'''-3x^2y''+6xy'-6y=0,
em que já conhecemos uma solução phi1(x)=x. Queremos achar duas soluções independentes adicionais para formar um conjunto fundamental. Vamos usar o método de equação de Euler, supondo uma solução do tipo y=x^r.

Passo 2

Para y=x^r temos
y'=r x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2, y'''=r(r-1)(r-2)x^r-3
Substituindo na EDO e extraindo o fator comum x^r (que nunca é zero para x>0), obtemos o polinômio característico
r(r-1)(r-2)-3r(r-1)+6r-6=0

Passo 3

Expandindo e simplificando esse polinômio temos
r^3-6r^2+11r-6=(r-1)(r-2)(r-3)=0,
cuja raízes são r=1,2,3. Como são distintas, as soluções associadas são x^1,;x^2,;x^3.

Passo 4

Portanto, além de phi1(x)=x, obtemos duas soluções independentes
phi2(x)=x^2 e phi3(x)=x^3,
que juntamente formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

Um conjunto fundamental é x,;x^2,;x^3.

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