Exercício 12 (D.L.5.38)
Seja
um campo de classe
tal que
com
. Mostre que
(a) 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável de
se
é estritamente decrescente
em
.
(b) 0 é um ponto de equilíbrio instável de
se
é estritamente crescente
em
.
(c) 0 é um ponto de equilíbrio instável de
se
é estritamente decrescente em ]
[ e estritamente crescente em
. Analise o retrato de fase em
nos três casos acima.
Seja
(a) 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável de
(b) 0 é um ponto de equilíbrio instável de
(c) 0 é um ponto de equilíbrio instável de
Passo 1
O enunciado trata do sistema diferencial unidimensional
onde
satisfaz
e
. Queremos classificar a estabilidade do ponto de equilíbrio
nos três cenários de monotonicidade de
. Como a linearização em zero não dá informação (pois
), usaremos a regra de sinais de
para determinar se as soluções próximas de zero se aproximam ou se afastam de
.
Passo 2
Caso (a):
estritamente decrescente em
.
Para , a decrescência implica
Para
ou seja, as trajetórias iniciadas em
deslocam-se para a esquerda (tendem a
).
Para , a decrescência implica
Para
logo as trajetórias em
deslocam-se para a direita (também tendem a
).
Assim, em ambos os lados de zero o fluxo aponta para , indicando atração.
Assim, em ambos os lados de zero o fluxo aponta para
Passo 3
Caso (b):
estritamente crescente em
.
Para , a crescimento implica
Para
portanto trajetórias em
vão para a direita (se afastam de
).
Para ,
Para
logo em
as soluções vão para a esquerda (também se afastam de
).
Isso caracteriza como ponto repulsor.
Isso caracteriza
Passo 4
Caso (c):
estritamente decrescente em
e estritamente crescente em
.
Em , pela decrescência em
temos
Em
logo as soluções em
movem-se para a direita, aproximando-se de zero.
Em , pela crescimento em
segue
Em
portanto em
o fluxo aponta para a direita, afastando-se de zero.
Isso mostra que atrai pela esquerda mas repele pela direita, caracterizando instabilidade (semi-estabilidade).
Isso mostra que
Resposta
(a) Em
estritamente decrescente, todas as soluções partindo de
são atraídas para
, logo
é ponto de equilíbrio assintoticamente estável. O retrato de fase em
é
(b) Em
estritamente crescente, as soluções partindo de
afastam-se de
, logo
é ponto de equilíbrio instável. O retrato de fase é
(c) Se
decresce em
e cresce em
, então
atrai pela esquerda e repele pela direita, tornando
instável (semi-estável). O retrato de fase é