Exercício 12 (D.L.5.38)
Seja f: R R um campo de classe C^1 tal que f(0)=0 com f^prime(0)=0. Mostre que
(a) 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável de f se f é estritamente decrescente (t>s Longrightarrow f(t)< f(s)) em R.
(b) 0 é um ponto de equilíbrio instável de f se f é estritamente crescente (t>s Longrightarrow f(t)>f(s)) em R.
(c) 0 é um ponto de equilíbrio instável de f se f é estritamente decrescente em ] -infty, 0 [ e estritamente crescente em ] 0, infty[. Analise o retrato de fase em R nos três casos acima.

Passo 1

O enunciado trata do sistema diferencial unidimensional
dot x = f(x),
onde fin C^1(R) satisfaz f(0)=0 e f'(0)=0. Queremos classificar a estabilidade do ponto de equilíbrio x=0 nos três cenários de monotonicidade de f. Como a linearização em zero não dá informação (pois f'(0)=0), usaremos a regra de sinais de f(x) para determinar se as soluções próximas de zero se aproximam ou se afastam de x=0.

Passo 2

Caso (a): f estritamente decrescente em R.
Para x>0, a decrescência implica
x>0Longrightarrow f(x)<f(0)=0Longrightarrow dot x=f(x)<0,
ou seja, as trajetórias iniciadas em x>0 deslocam-se para a esquerda (tendem a 0).
Para x<0, a decrescência implica
x<0Longrightarrow f(x)>f(0)=0Longrightarrow dot x=f(x)>0,
logo as trajetórias em x<0 deslocam-se para a direita (também tendem a 0).
Assim, em ambos os lados de zero o fluxo aponta para x=0, indicando atração.

Passo 3

Caso (b): f estritamente crescente em R.
Para x>0, a crescimento implica
x>0Longrightarrow f(x)>f(0)=0Longrightarrow dot x>0,
portanto trajetórias em x>0 vão para a direita (se afastam de 0).
Para x<0,
x<0Longrightarrow f(x)<f(0)=0Longrightarrow dot x<0,
logo em x<0 as soluções vão para a esquerda (também se afastam de 0).
Isso caracteriza x=0 como ponto repulsor.

Passo 4

Caso (c): f estritamente decrescente em (-infty,0) e estritamente crescente em (0,infty).
Em x<0, pela decrescência em (-infty,0) temos
x<0Longrightarrow f(x)>f(0)=0Longrightarrow dot x>0,
logo as soluções em x<0 movem-se para a direita, aproximando-se de zero.
Em x>0, pela crescimento em (0,infty) segue
x>0Longrightarrow f(x)>f(0)=0Longrightarrow dot x>0,
portanto em x>0 o fluxo aponta para a direita, afastando-se de zero.
Isso mostra que 0 atrai pela esquerda mas repele pela direita, caracterizando instabilidade (semi-estabilidade).

Resposta

(a) Em f estritamente decrescente, todas as soluções partindo de xneq0 são atraídas para 0, logo 0 é ponto de equilíbrio assintoticamente estável. O retrato de fase em R é
longrightarrow;0;long<=ftarrow
(b) Em f estritamente crescente, as soluções partindo de xneq0 afastam-se de 0, logo 0 é ponto de equilíbrio instável. O retrato de fase é
long<=ftarrow;0;longrightarrow
(c) Se f decresce em (-infty,0) e cresce em (0,infty), então 0 atrai pela esquerda e repele pela direita, tornando 0 instável (semi-estável). O retrato de fase é
longrightarrow;0;longrightarrow

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