Exercício 1.14 Uma máquina faz parafusos com diâmetros distribuídos segundo uma v.a. X com a seguinte função densidade de probabilidade
f(x)=cl k(x-1)(x-2) & , 1<x<2 0 & , caso contrário á
  1. Determine k. -6
  2. Os parafusos são rejeitados se o seu diâmetro diferir de 1.5 mais de 0.4 . Qual a probabilidade de um parafuso ser rejeitado? 0,056

Passo 1

O enunciado dá uma v.a.
pede (1) achar o fator de normalização e (2) calcular a probabilidade de rejeição, definida por .

Passo 2

Para normalizar, impomos
integral1^2k,(x-1)(x-2),dx=1
Uma primitiv a de (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 é
F(x)=x^33-3x^22+2x,
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integral1^2(x-1)(x-2),dx =F(2)-F(1) =l(tfrac83-3+4r) -l(tfrac13-tfrac32+2r) =-tfrac16
Daí kcdot(-tfrac16)=1 e
k=-6

Passo 3

O critério de rejeição lvert X-1.5rvert>0.4 equivale a
X<1.1ou X>1.9
Assim a probabilidade de rejeitar é
P(X<1.1)+P(X>1.9) =integral1^1.1f(x),dx+integral1.9^2f(x),dx

Passo 4

Com k=-6 temos
integral1^1.1f(x),dx =-6integral1^1.1(x-1)(x-2),dx =-6l(F(1.1)-F(1)r) =-6l(0,828667-0,833333r) =0,028
e
integral1.9^2f(x),dx =-6integral1.9^2(x-1)(x-2),dx =-6l(F(2)-F(1.9)r) =-6l(0,666667-0,671333r) =0,028
Somando dá
P(rejeitar)=0,028+0,028=0,056

Resposta

k=-6
Probabilidade de rejeição =0,056.

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