Exercício 13. Seja U=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \mid p^{\prime \prime}(6)=0\right\}. Encontre uma base de U e estenda-a a uma base de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o subespaço U=\{p\in\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R})\mid p''(6)=0\}
em que \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) é o espaço de polinômios de grau <=4. Queremos achar uma base de U e depois estendê-la a uma base de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}). O conteúdo é teoria de subespaços, restrição linear e dimensionamento de espaços vetoriais.

Passo 2

Seja
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}.
Então
p''(x)=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}.
A condição p''(6)=0
2a_{2}+6a_{3}\cdot6+12a_{4}\cdot6^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2a_{2}+36a_{3}+432a_{4}=0.

Passo 3

Da equação 2a_{2}+36a_{3}+432a_{4}=0 segue
a_{2}=-18a_{3}-216a_{4}.
Logo podemos tomar a_{0},a_{1},a_{3},a_{4} como parâmetros livres e expressar a_{2} em função deles.

Passo 4

Substituindo a_{2} em p, obtemos
p(x)=a_{0}\cdot1\;+\;a_{1}\,x\;+\;a_{3}\bigl(x^{3}-18x^{2}\bigr)\;+\;a_{4}\bigl(x^{4}-216x^{2}\bigr).
Isto mostra que uma base de U é
\{\,1,\;x,\;x^{3}-18x^{2},\;x^{4}-216x^{2}\}.

Passo 5

Como \dim\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R})=5 e \dim U=4, basta adicionar um vetor fora de U para estender a base. Note que x^{2}\notin U pois \bigl(x^{2}\bigr)''(6)=2\neq0. Assim
\{\,1,\;x,\;x^{3}-18x^{2},\;x^{4}-216x^{2},\;x^{2}\}
é uma base de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}).

Resposta

Base de U: \{\,1,\;x,\;x^{3}-18x^{2},\;x^{4}-216x^{2}\}.
Base de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) estendida: \{\,1,\;x,\;x^{3}-18x^{2},\;x^{4}-216x^{2},\;x^{2}\}.

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