Exercício 17. Suponha que
e
são subespaços de dimensão 5 de
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá dois subespaços
e
de
, cada um de dimensão
, e pede para mostrar que a interseção
não é apenas o vetor nulo. O conteúdo principal aqui é a fórmula de Grassmann para dimensões de soma e interseção de subespaços em espaços vetoriais finito-dimensionais.
Passo 2
A fórmula de Grassmann afirma que, para quaisquer subespaços
e
, vale
Como
é um subespaço de
, temos
Substituindo
e
na fórmula, obtemos
Passo 3
Da desigualdade acima segue
Como
, a interseção
contém pelo menos um vetor não-nulo.
Resposta
Portanto,
.