Exercício 9. Suponha que U e W são subespaços de V tais que V=U \oplus W. Suponha também que u_{1}, \ldots, u_{m} é base de U e w_{1}, \ldots, w_{n} é base de W. Mostre que
u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}

Passo 1

O enunciado diz que V é a soma direta de dois subespaços U e W, ou seja,
V = U \oplus W,
e que \{u_{1},\dots,u_{m}\} é base de U e \{w_{1},\dots,w_{n}\} é base de W. Queremos mostrar que a sequência
u_{1},\dots,u_{m},\,w_{1},\dots,w_{n}
é uma base de V. Para isso precisamos verificar dois itens:
  1. Gera V (espalha).
  2. É linearmente independente.

Passo 2

(Mostrar que gera V). Como V = U \oplus W, todo vetor v\in V se escreve de modo único como
v = u + w,\quad u\in U,\\ w\in W.
Mas \{u_{1},\dots,u_{m}\} gera U, logo
u = \sum_{i=1}^m \alpha_i\,u_i
para certos escalares \alpha_i. E \{w_{1},\dots,w_{n}\} gera W, logo
w = \sum_{j=1}^n \beta_j\,w_j.
Somando,
v = \sum_{i=1}^m \alpha_i\,u_i \;+\;\sum_{j=1}^n \beta_j\,w_j,
ou seja, v é combinação linear de u_{1},\dots,u_{m},w_{1},\dots,w_{n}. Assim a sequência gera V.

Passo 3

(Mostrar independência linear). Suponha que
\sum_{i=1}^m \alpha_i\,u_i \;+\;\sum_{j=1}^n \beta_j\,w_j \;=\;0.
Defina
u' = \sum_{i=1}^m \alpha_i\,u_i\in U, \quad w' = \sum_{j=1}^n \beta_j\,w_j\in W,
de modo que u' + w' = 0. Pela unicidade da decomposição em soma direta, isso obriga u'=0 e w'=0. Como \{u_i\} é independente, segue \alpha_i=0 para todo i. Como \{w_j\} é independente, segue \beta_j=0 para todo j. Logo não há combinação linear não trivial que dê zero, ou seja, a sequência é linearmente independente.

Resposta

A sequência
u_{1},\dots,u_{m},\,w_{1},\dots,w_{n}
é base de V.

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