Exercício 9. Suponha que
e
são subespaços de
tais que
. Suponha também que
é base de
e
é base de
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
é a soma direta de dois subespaços
e
, ou seja,
e que
é base de
e
é base de
. Queremos mostrar que a sequência
é uma base de
. Para isso precisamos verificar dois itens:
- Gera
(espalha). - É linearmente independente.
Passo 2
(Mostrar que gera
). Como
, todo vetor
se escreve de modo único como
Mas
gera
, logo
para certos escalares
. E
gera
, logo
Somando,
ou seja,
é combinação linear de
. Assim a sequência gera
.
Passo 3
(Mostrar independência linear). Suponha que
Defina
de modo que
. Pela unicidade da decomposição em soma direta, isso obriga
e
. Como
é independente, segue
para todo
. Como
é independente, segue
para todo
. Logo não há combinação linear não trivial que dê zero, ou seja, a sequência é linearmente independente.
Resposta
A sequência
é base de
.