Exercício 13. Seja
. Encontre uma base de
e estenda-a a uma base de
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
em que é o espaço de polinômios de grau
. Queremos achar uma base de
e depois estendê-la a uma base de
. O conteúdo é teoria de subespaços, restrição linear e dimensionamento de espaços vetoriais.
em que
Passo 2
Seja
Então
A condição
dá
Passo 3
Da equação
segue
Logo podemos tomar
como parâmetros livres e expressar
em função deles.
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Isto mostra que uma base de
é
Passo 5
Como
e
, basta adicionar um vetor fora de
para estender a base. Note que
pois
. Assim
é uma base de
.
Resposta
Base de
:
Base de estendida:
Base de