Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos):
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear homogêneo é sempre um vetor solução do sistema.
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear homogêneo é sempre um vetor solução do sistema.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um sistema linear homogêneo
a soma de duas soluções
e
também é solução. O conteúdo usado aqui é que o conjunto de soluções de um sistema homogêneo forma um subespaço vetorial e, em particular, é fechado sob soma de vetores.
Passo 2
Sejam
e
duas soluções de
. Isso significa que
Pela linearidade do produto de matriz por vetor, temos
Logo
satisfaz
e é uma solução do sistema.
Resposta
Verdadeira.