Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos):
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear homogêneo é sempre um vetor solução do sistema.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um sistema linear homogêneo
A x = 0,
a soma de duas soluções x^(1) e x^(2) também é solução. O conteúdo usado aqui é que o conjunto de soluções de um sistema homogêneo forma um subespaço vetorial e, em particular, é fechado sob soma de vetores.

Passo 2

Sejam x^(1) e x^(2) duas soluções de A x=0. Isso significa que
A,x^(1)=0 e A,x^(2)=0
Pela linearidade do produto de matriz por vetor, temos
Al(x^(1)+x^(2)r) = A,x^(1) + A,x^(2) = 0 + 0 = 0
Logo x^(1)+x^(2) satisfaz A x=0 e é uma solução do sistema.

Resposta

Verdadeira.

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