Exercício 17. Calcule a área da superfície S obtida pela revolução da curva r(t) em torno do eixo y, em que
r(t)=(\cos t, 1+\sin t), 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S obtida ao girar, em torno do eixo y, a curva paramétrica
r(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(\cos t,\;1+\sin t\bigr),\quad 0\le t\le \tfrac\pi2.
O conteúdo é área de superfície de revolução de curva paramétrica. Vamos usar a fórmula
S = 2\pi \int_{a}^{b} x(t)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t) = -\sin t,\quad y'(t) = \cos t.
Logo o elemento de arco é
ds = \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2 + \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}\,dt = 1\cdot dt = dt.

Passo 3

Substituindo x(t)=\cos t e ds=dt na fórmula de S com a=0 e b=\tfrac\pi2, obtemos
S = 2\pi \int_{0}^{\frac\pi2} \cos t \,dt.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{\frac\pi2}\cos t\,dt = \bigl[\sin t\bigr]_{0}^{\frac\pi2} = 1 - 0 = 1,
portanto
S = 2\pi \cdot 1 = 2\pi.

Resposta

A área da superfície é S = 2\pi.

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