Exercício 13. Sejam
,
e
os ângulos de um triângulo. Determine o valor máximo de
sen
.
Passo 1
O enunciado pede o valor máximo de
sujeito a
e
.
Conteúdo envolvido: otimização com restrição e propriedades de funções concavas.
Conteúdo envolvido: otimização com restrição e propriedades de funções concavas.
Passo 2
Observamos que
em
e que o domínio definido por
,
é compacto. Como
é contínua, existe máximo em algum ponto desse domínio.
Passo 3
Para encontrar o ponto de máximo, considere
A função
tem segunda derivada
para
, logo
é estritamente côncava. Soma de funções côncavas permanece côncava, então
atinge máximo quando
(pela simetria e pelo critério de Jensen ou multiplicador de Lagrange).
Passo 4
Como
e
, segue
. Assim