Exercício 13. Sejam x, y e z os ângulos de um triângulo. Determine o valor máximo de f(x, y, z)= sen x \operatorname{sen} y \operatorname{sen} z.

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo de
f(x,y,z)=\sin x\;\sin y\;\sin z
sujeito a x,y,z>0 e x+y+z=\pi.
Conteúdo envolvido: otimização com restrição e propriedades de funções concavas.

Passo 2

Observamos que \sin x>0 em (0,\pi) e que o domínio definido por x+y+z=\pi, x,y,z>0 é compacto. Como f é contínua, existe máximo em algum ponto desse domínio.

Passo 3

Para encontrar o ponto de máximo, considere
g(x,y,z)=\ln f(x,y,z)=\ln(\sin x)+\ln(\sin y)+\ln(\sin z).
A função \varphi(t)=\ln(\sin t) tem segunda derivada \varphi''(t)=-1/\sin^2t<0 para t\in(0,\pi), logo \varphi é estritamente côncava. Soma de funções côncavas permanece côncava, então g atinge máximo quando x=y=z (pela simetria e pelo critério de Jensen ou multiplicador de Lagrange).

Passo 4

Como x=y=z e x+y+z=\pi, segue x=y=z=\pi/3. Assim
f_{\max}=\bigl(\sin(\pi/3)\bigr)^3 =\Bigl(\frac{\sqrt3}{2}\Bigr)^3 =\frac{3\sqrt3}{8}.

Resposta

\max f(x,y,z)=\frac{3\sqrt3}{8}.

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