Determine o máximo e mínimo da função no domínio dado:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-3 x, D é a região triangular fechada de vértices (2,0),(0,2) e(0,-2);

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-3x
no domínio fechado D, que é o triângulo de vértices (2,0), (0,2) e (0,-2).
Conteúdo: otimização de funções em região fechada, usando condições de interior (gradiente nulo) e análise nas arestas.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e buscamos pontos críticos internos:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-3,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Igualando a zero vem
2x-3=0\\ \Rightarrow\\ x=\tfrac32, \qquad 2y=0\\ \Rightarrow\\ y=0.
O ponto crítico é \bigl(\tfrac32,0\bigr), que está dentro de D pois para x=\tfrac32 temos \tfrac32-2\le0\le -\tfrac32+2.

Passo 3

Avaliaremos f naquele ponto:
f\bigl(\tfrac32,0\bigr) =\bigl(\tfrac32\bigr)^{2}+0-3\cdot\tfrac32 =\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2} =-\tfrac{9}{4}.

Passo 4

Eixo x=0 (segmento de (0,-2) a (0,2)):
f(0,y)=y^{2},\quad y\in[-2,2].
Aqui \min f=0 em y=0 e \max f=4 em y=\pm2.

Passo 5

Aresta de (2,0) a (0,2). Parametrização x=2t,\\ y=2-2t,\\ t\in[0,1].
Então
f(t)=8t^{2}-14t+4.
Derivando: f'(t)=16t-14=0\Rightarrow t=7/8.
Valores:
f(7/8)=-\tfrac{17}{8}\approx-2{,}125,\quad f(0)=4,\quad f(1)=-2.

Passo 6

Aresta de (2,0) a (0,-2). Parametrização x=2-2t,\\ y=-2t,\\ t\in[0,1].
f(t)=8t^{2}-2t-2,
com f'(t)=16t-2=0\Rightarrow t=1/8.
Valores:
f(1/8)=-\tfrac{17}{8}\approx-2{,}125,\quad f(0)=-2,\quad f(1)=4.

Passo 7

Reunindo:
  • Interior: f(\tfrac32,0)=-\tfrac{9}{4}=-2{,}25.
  • Arestas: menores -\tfrac{17}{8}=-2{,}125, maior 4.
  • Vértices: f(0,2)=f(0,-2)=4, f(2,0)=-2.
Logo o mínimo absoluto é -\tfrac{9}{4} em \bigl(\tfrac32,0\bigr), e o máximo absoluto é 4 em (0,2) e (0,-2).

Resposta

\min_{D}f=-\tfrac{9}{4} em \bigl(\tfrac32,0\bigr) \max_{D}f=4 em (0,2) e (0,-2)

Exercícios relacionados