Determine o máximo e mínimo da função no domínio dado:
é a região triangular fechada de vértices
;
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
no domínio fechado
, que é o triângulo de vértices
,
e
.
Conteúdo: otimização de funções em região fechada, usando condições de interior (gradiente nulo) e análise nas arestas.
Conteúdo: otimização de funções em região fechada, usando condições de interior (gradiente nulo) e análise nas arestas.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e buscamos pontos críticos internos:
Igualando a zero vem
O ponto crítico é
, que está dentro de
pois para
temos
.
Passo 3
Avaliaremos
naquele ponto:
Passo 4
Eixo
(segmento de
a
):
Aqui
em
e
em
.
Passo 5
Aresta de
a
. Parametrização
.
Então
Então
Derivando:
.
Valores:
Valores:
Passo 6
Aresta de
a
. Parametrização
.
com
.
Valores:
Valores:
Passo 7
Reunindo:
- Interior:
. - Arestas: menores
, maior . - Vértices:
, .
Logo o mínimo absoluto é
em
, e o máximo absoluto é
em
e
.