Exercício 13. Sejam
,
e
os ângulos de um triângulo. Determine o valor máximo de
sen
.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a função
sob a restrição de que
são os ângulos de um triângulo, ou seja,
O conteúdo principal aqui é otimização com restrição: usaremos multiplicadores de Lagrange aplicados ao logaritmo de
, que transforma produto em soma e facilita a diferenciação.
Passo 2
Definimos
Para um extremo, as derivadas parciais devem anular-se:
Passo 3
Das três equações acima segue
o que implica
pois a função cotangente é injetora no intervalo
.
Passo 4
Usando
com
, obtemos
Substituindo em
dá
Passo 5
Para ver que este valor é máximo, note que nos vértices do domínio (quando um ângulo tende a
) a função tende a zero, e o ponto interior encontrado é único crítico. Logo, trata-se de um máximo global.
Resposta
O valor máximo de
é
.