Exercício 13. Sejam x, y e z os ângulos de um triângulo. Determine o valor máximo de f(x, y, z)= sen x \operatorname{sen} y \operatorname{sen} z.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função
f(x,y,z)=\sin x\,\sin y\,\sin z
sob a restrição de que x,y,z são os ângulos de um triângulo, ou seja,
x+y+z=\pi,\quad x>0,\;y>0,\;z>0.
O conteúdo principal aqui é otimização com restrição: usaremos multiplicadores de Lagrange aplicados ao logaritmo de f, que transforma produto em soma e facilita a diferenciação.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z,\lambda)=\ln\bigl(\sin x\,\sin y\,\sin z\bigr)+\lambda\,(x+y+z-\pi).
Para um extremo, as derivadas parciais devem anular-se:
\frac{\partial F}{\partial x}=\cot x+\lambda=0,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=\cot y+\lambda=0,\quad \frac{\partial F}{\partial z}=\cot z+\lambda=0.

Passo 3

Das três equações acima segue
\cot x=\cot y=\cot z=-\lambda,
o que implica
x=y=z,
pois a função cotangente é injetora no intervalo (0,\pi).

Passo 4

Usando x+y+z=\pi com x=y=z, obtemos
3x=\pi\quad\Longrightarrow\quad x=y=z=\frac{\pi}{3}.
Substituindo em f
f\Bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\bigl(\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr)^3 =\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^3 =\frac{3\sqrt3}{8}.

Passo 5

Para ver que este valor é máximo, note que nos vértices do domínio (quando um ângulo tende a 0) a função tende a zero, e o ponto interior encontrado é único crítico. Logo, trata-se de um máximo global.

Resposta

O valor máximo de \sin x\,\sin y\,\sin z é \displaystyle \frac{3\sqrt3}{8}.

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