Encontre os pontos críticos e determine a natureza dos extremantes locais.
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{x^{2}-y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = (x^2 + y^2)\,e^{\,x^2 - y^2}
e determinar se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Conteúdo: derivadas parciais, sistema \nabla f=0 e teste da matriz Hessiana para classificação de extremos.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Defina r^2 = x^2 + y^2. Então
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[r^2 e^{\,x^2 - y^2}\bigr] = 2x\,e^{\,x^2 - y^2} \;+\; r^2\cdot e^{\,x^2 - y^2}\cdot 2x = 2x\,(1 + r^2)\,e^{\,x^2 - y^2},
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[r^2 e^{\,x^2 - y^2}\bigr] = 2y\,e^{\,x^2 - y^2} \;-\; r^2\cdot e^{\,x^2 - y^2}\cdot 2y = 2y\,(1 - r^2)\,e^{\,x^2 - y^2}.
Para pontos críticos exigimos f_x=0 e f_y=0. Como e^{\,x^2 - y^2}>0 para todo (x,y), temos
2x\,(1 + r^2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,
2y\,(1 - r^2)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0 \quad\text{ou}\quad r^2 = 1.
Combinando, obtemos três pontos críticos:
(0,0), \quad (0,1), \quad (0,-1).

Passo 3

Agora usamos o teste da Hessiana. Primeiro as segundas derivadas em geral (avaliamos em cada ponto depois):
f_{xx}(x,y) \;=\;\frac{\partial}{\partial x}\bigl[2x(1+r^2)e^{\,x^2 - y^2}\bigr], \quad f_{yy}(x,y) \;=\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl[2y(1-r^2)e^{\,x^2 - y^2}\bigr], \quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}[f_x].
Em (0,0) temos r^2=0 e e^{\,0}=1, daí
f_{xx}(0,0)=2, \quad f_{yy}(0,0)=2, \quad f_{xy}(0,0)=0.
O determinante da Hessiana é
D(0,0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4>0,
e f_{xx}(0,0)>0, logo (0,0) é mínimo local.
Em (0,\pm1) temos r^2=1 e e^{\,0}=1. Calcula-se
f_{xx}(0,\pm1)=4, \quad f_{yy}(0,\pm1)=-4, \quad f_{xy}(0,\pm1)=0,
portanto
D(0,\pm1)=4\cdot(-4)-0 = -16<0,
o que indica ponto de sela em (0,1) e em (0,-1).

Resposta

(0,0) é mínimo local.
(0,1) é ponto de sela.
(0,-1) é ponto de sela.

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