Encontre os pontos críticos e determine a natureza dos extremantes locais.
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e determinar se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Conteúdo: derivadas parciais, sistema e teste da matriz Hessiana para classificação de extremos.
Conteúdo: derivadas parciais, sistema
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais. Defina
. Então
Para pontos críticos exigimos
e
. Como
para todo
, temos
Combinando, obtemos três pontos críticos:
Passo 3
Agora usamos o teste da Hessiana. Primeiro as segundas derivadas em geral (avaliamos em cada ponto depois):
Em
temos
e
, daí
O determinante da Hessiana é
e
, logo
é mínimo local.
Em
temos
e
. Calcula-se
portanto
o que indica ponto de sela em
e em
.
Resposta
(0,0) é mínimo local.
(0,1) é ponto de sela.
(0,-1) é ponto de sela.
(0,1) é ponto de sela.
(0,-1) é ponto de sela.