Exercício 2.4.13. Se uma sequência de números reais positivos
é tal que
, então a série
converge ou diverge? Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de números reais positivos
e a relação de recorrência
e pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
-
para todo . - A razão entre termos consecutivos é exatamente
. - Precisamos justificar se
converge (soma finita) ou diverge (soma infinita).
Passo 2
Escolha do método: como o enunciado fornece diretamente a razão
, o teste do quociente (ratio test) é a ferramenta natural — ele usa exatamente essa razão. Vou explicar o teste do quociente e depois aplicá-lo aqui. Se houver dúvida sobre usar outro método, comento o porquê: comparação direta com uma geométrica também será utilizada implicitamente para tornar a conclusão explícita e construtiva.
Passo 3
Enunciado do teste do quociente (versão prática e a intuição): para uma série de termos positivos
,
- se
existe e , então a série converge; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
Intuição e pequena justificativa: se
, existe
com
e
tal que para todo
vale
. Então, por recorrência,
logo a cauda da série é majorada por uma série geométrica convergente
, o que garante a convergência da série original. Essa é a justificativa que usaremos.
Passo 4
Calcular o limite da razão dada. Temos
Recorde (é o limite que define
) que
onde
. Tomando recíproco, obtemos
Portanto o limite da razão é
Passo 5
Observar o valor numérico e concluir pelo teste: como
e
, temos
. Pelo teste do quociente, isso já garante que a série
converge.
Para deixar mais explícito (construção do majorante geométrico): escolha qualquer
tal que
. Como
, existe
tal que para todo
vale
Então para
temos
. Iterando,
Assim a cauda
é majorada por a série geométrica
, que converge porque
. Como a soma das primeiras
parcelas é finita, a série inteira
converge.
Passo 6
Comentário final e incentivo: em provas, sempre que você tiver uma relação do tipo
explícita, o teste do quociente é um atalho ótimo — compute o limite da razão; se for menor que
, pronto, converge. Aqui foi bem tranquilo porque o limite envolveu a clássica expressão que dá
. Vai dar tudo certo, você já tem a ideia para aplicar rápido na prova!
Resposta
A série converge.