Exercício 2.4.13. Se uma sequência de números reais positivos \left\{a_{n}\right\} é tal que a_{n+1}=a_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}, então a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge ou diverge? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de números reais positivos \{a_{n}\} e a relação de recorrência
a_{n+1}=a_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\quad\text{para todo }n\ge 1,
e pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
  • \;a_{n}>0 para todo n.
  • A razão entre termos consecutivos é exatamente \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}.
  • Precisamos justificar se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge (soma finita) ou diverge (soma infinita).

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado fornece diretamente a razão \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}, o teste do quociente (ratio test) é a ferramenta natural — ele usa exatamente essa razão. Vou explicar o teste do quociente e depois aplicá-lo aqui. Se houver dúvida sobre usar outro método, comento o porquê: comparação direta com uma geométrica também será utilizada implicitamente para tornar a conclusão explícita e construtiva.

Passo 3

Enunciado do teste do quociente (versão prática e a intuição): para uma série de termos positivos \sum a_n,
  • se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} existe e L<1, então a série converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição e pequena justificativa: se \frac{a_{n+1}}{a_n}\to L<1, existe r com L<r<1 e N tal que para todo n\ge N vale \frac{a_{n+1}}{a_n}\le r. Então, por recorrência,
a_{N+k}\le a_N r^k\quad\text{para todo }k\ge0,
logo a cauda da série é majorada por uma série geométrica convergente \sum a_N r^k, o que garante a convergência da série original. Essa é a justificativa que usaremos.

Passo 4

Calcular o limite da razão dada. Temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}.
Recorde (é o limite que define e) que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e\approx 2,71828. Tomando recíproco, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}=e^{-1}.
Portanto o limite da razão é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-1}.

Passo 5

Observar o valor numérico e concluir pelo teste: como e^{-1}\approx 0,3679 e e^{-1}<1, temos L<1. Pelo teste do quociente, isso já garante que a série \sum a_n converge.
Para deixar mais explícito (construção do majorante geométrico): escolha qualquer r tal que e^{-1}<r<1. Como \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\to e^{-1}, existe N tal que para todo n\ge N vale
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\le r.
Então para n\ge N temos a_{n+1}\le r a_n. Iterando,
a_{N+k}\le a_N r^{k}\quad\text{para todo }k\ge0.
Assim a cauda \sum_{n=N}^{\infty} a_n é majorada por a série geométrica \sum_{k=0}^{\infty} a_N r^k, que converge porque 0<r<1. Como a soma das primeiras N-1 parcelas é finita, a série inteira \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge.

Passo 6

Comentário final e incentivo: em provas, sempre que você tiver uma relação do tipo a_{n+1}/a_n explícita, o teste do quociente é um atalho ótimo — compute o limite da razão; se for menor que 1, pronto, converge. Aqui foi bem tranquilo porque o limite envolveu a clássica expressão que dá e. Vai dar tudo certo, você já tem a ideia para aplicar rápido na prova!

Resposta

A série converge.

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