Exercício 2.4.3. Mostre que a série dada é convergente:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral da série é
. - A soma vai de
até . - Para todo
temos (os termos são positivos). - A tarefa é apenas decidir sobre a convergência (não nos foi pedido calcular a soma).
Passo 2
Vamos lembrar um resultado útil que usaremos: a série p (p-série)
converge se, e somente se,
. Em particular, a série
converge (porque
). Uma forma simples de justificar isso é pelo Teste da Integral:
converge (vale
), então a série equivalente também converge. Nós usaremos
como referência para comparar com a série dada.
Passo 3
Apresento o Teste da Comparação por Limite (limite de razão entre termos), que é prático aqui: sejam
e
. Se existir o limite finito e positivo
então as séries
e
convergem ou divergem juntas. Intuição rápida: para grandes
,
e
têm o mesmo comportamento assintótico quando a razão tende a uma constante positiva.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Comparação por Limite com
e
(já que
converge).
Calculemos a razão:
Multiplicando os factores do denominador temos
logo
Para encontrar o limite quando
dividimos numerador e denominador por
:
Agora tomamos o limite
. Como
e
, obtemos
Este limite é finito e positivo (
), portanto as duas séries têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
Passo 5
Como já sabemos que
converge e a razão
é um número positivo finito, pelo Teste da Comparação por Limite a série
também converge. Note que incluir o termo
não altera a convergência (é apenas um número finito adicionado).
Resposta
A série converge.