Exercício 2.4.3. Mostre que a série dada é convergente:
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{11}{(2 n+3)(3 n+5)};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{11}{(2n+3)(3n+5)}
é convergente. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{11}{(2n+3)(3n+5)}.
  • A soma vai de n=0 até +\infty.
  • Para todo n\ge 0 temos a_n>0 (os termos são positivos).
  • A tarefa é apenas decidir sobre a convergência (não nos foi pedido calcular a soma).

Passo 2

Vamos lembrar um resultado útil que usaremos: a série p (p-série)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Em particular, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (porque p=2>1). Uma forma simples de justificar isso é pelo Teste da Integral: \int_{1}^{\infty} x^{-2}\,dx converge (vale 1), então a série equivalente também converge. Nós usaremos \sum 1/n^{2} como referência para comparar com a série dada.

Passo 3

Apresento o Teste da Comparação por Limite (limite de razão entre termos), que é prático aqui: sejam a_n>0 e b_n>0. Se existir o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},\quad 0<L<\infty,
então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas. Intuição rápida: para grandes n, a_n e b_n têm o mesmo comportamento assintótico quando a razão tende a uma constante positiva.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Comparação por Limite com a_n=\dfrac{11}{(2n+3)(3n+5)} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}} (já que \sum b_n converge).
Calculemos a razão:
\frac{a_n}{b_n} = a_n\cdot n^{2} = \frac{11\,n^{2}}{(2n+3)(3n+5)}.
Multiplicando os factores do denominador temos
(2n+3)(3n+5)=6n^{2}+19n+15,
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\frac{a_n}{b_n}=\frac{11\,n^{2}}{6n^{2}+19n+15}.
Para encontrar o limite quando n\to\infty dividimos numerador e denominador por n^{2}:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{11}{6+\dfrac{19}{n}+\dfrac{15}{n^{2}}}.
Agora tomamos o limite n\to\infty. Como \dfrac{19}{n}\to 0 e \dfrac{15}{n^{2}}\to 0, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{11}{6}.
Este limite é finito e positivo ( L=11/6\in(0,\infty)), portanto as duas séries têm o mesmo comportamento quanto à convergência.

Passo 5

Como já sabemos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge e a razão \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{2}}=\dfrac{11}{6} é um número positivo finito, pelo Teste da Comparação por Limite a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{11}{(2n+3)(3n+5)}
também converge. Note que incluir o termo n=0 não altera a convergência (é apenas um número finito adicionado).

Resposta

A série converge.

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