Exercício 13. Simplifique as seguintes expressões:
a)
\frac{m+1}{2}+\frac{3}{n}
b)
\frac{2}{x+3}+\frac{y-4}{5}
c)
\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}
d)
\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}
e)
\frac{4 t+1}{t^{2}}+\frac{3}{t}
f)
\frac{3}{v(v-2)}+\frac{v+1}{v^{3}}
g)
\frac{1}{x-y}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)
h)
\frac{(x+a)^{2}-x^{2}}{a}
i)
\frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}}{a}
j)
\frac{\frac{x-2}{y}}{\frac{z}{x+2}}
k)
\frac{\frac{x-4}{y+3}}{\frac{y-3}{x+4}}
I)
\frac{\frac{a-t}{b-c}}{\frac{b+c}{a+t}}

Passo 1

Você me deu uma lista de expressões (de a) até l)) para simplificar. O que o enunciado pede é apenas escrever cada expressão numa forma mais simples, somando ou subtraindo frações quando for o caso, cancelar fatores quando possível e deixar o resultado reduzido. Vou listar cada expressão exatamente como veio (para ficar claro o que temos):
a) \displaystyle \frac{m+1}{2}+\frac{3}{n}
b) \displaystyle \frac{2}{x+3}+\frac{y-4}{5}
c) \displaystyle \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}
d) \displaystyle \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}
e) \displaystyle \frac{4 t+1}{t^{2}}+\frac{3}{t}
f) \displaystyle \frac{3}{v(v-2)}+\frac{v+1}{v^{3}}
g) \displaystyle \frac{1}{x-y}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)
h) \displaystyle \frac{(x+a)^{2}-x^{2}}{a}
i) \displaystyle \frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}}{a}
j) \displaystyle \frac{\frac{x-2}{y}}{\frac{z}{x+2}}
k) \displaystyle \frac{\frac{x-4}{y+3}}{\frac{y-3}{x+4}}
l) \displaystyle \frac{\frac{a-t}{b-c}}{\frac{b+c}{a+t}}
A partir do próximo passo eu vou simplificar cada item, explicando didaticamente o que faço (como somar frações, achar denominador comum, fatorar e cancelar).

Passo 2

a) \displaystyle \frac{m+1}{2}+\frac{3}{n}.
Como somar frações: devemos colocar um denominador comum. O denominador comum mais simples é 2n. Multiplicamos numerador e denominador de cada fração para alcançar 2n:
\frac{m+1}{2}=\frac{n(m+1)}{2n},\qquad \frac{3}{n}=\frac{3\cdot 2}{2n}=\frac{6}{2n}.
Somando numeradores:
\frac{n(m+1)+6}{2n}=\frac{nm+n+6}{2n}.
Não há fator comum óbvio para simplificar mais, então esse é o resultado final.

Passo 3

b) \displaystyle \frac{2}{x+3}+\frac{y-4}{5}.
Denominador comum: 5(x+3). Ajustamos cada fração:
\frac{2}{x+3}=\frac{2\cdot 5}{5(x+3)}=\frac{10}{5(x+3)},\qquad \frac{y-4}{5}=\frac{(y-4)(x+3)}{5(x+3)}.
Somando numeradores:
\frac{10+(y-4)(x+3)}{5(x+3)}.
Expandindo (y-4)(x+3)=xy-4x+3y-12, então
\frac{10+xy-4x+3y-12}{5(x+3)}=\frac{xy-4x+3y-2}{5(x+3)}.
Esse é o resultado simplificado.

Passo 4

c) \displaystyle \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}.
Denominador comum: (x+2)(x-2)=x^{2}-4. Ajustando:
\frac{1}{x+2}=\frac{x-2}{x^{2}-4},\qquad \frac{1}{x-2}=\frac{x+2}{x^{2}-4}.
Somando numeradores:
\frac{(x-2)+(x+2)}{x^{2}-4}=\frac{2x}{x^{2}-4}.
Portanto a forma simplificada é \displaystyle \frac{2x}{x^{2}-4}. (Lembre que x\neq\pm 2 por causa dos denominadores originais.)

Passo 5

d) \displaystyle \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}.
Mesmo denominador comum x^{2}-4. Ajustando e subtraindo:
\frac{1}{x+2}=\frac{x-2}{x^{2}-4},\qquad \frac{1}{x-2}=\frac{x+2}{x^{2}-4}.
Subtraindo:
\frac{(x-2)-(x+2)}{x^{2}-4}=\frac{x-2-x-2}{x^{2}-4}=\frac{-4}{x^{2}-4}=-\frac{4}{x^{2}-4}.
Pode também ser escrita como -\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}.

Passo 6

e) \displaystyle \frac{4 t+1}{t^{2}}+\frac{3}{t}.
É útil escrever tudo sobre o mesmo denominador t^{2}. Observe que \dfrac{3}{t}=\dfrac{3t}{t^{2}}. Então
\frac{4t+1}{t^{2}}+\frac{3t}{t^{2}}=\frac{4t+1+3t}{t^{2}}=\frac{7t+1}{t^{2}}.
Outra forma: separar em termos \dfrac{4t}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{3}{t}=\dfrac{4}{t}+\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{3}{t}=\dfrac{7}{t}+\dfrac{1}{t^{2}}, que é equivalente a \dfrac{7t+1}{t^{2}}.

Passo 7

f) \displaystyle \frac{3}{v(v-2)}+\frac{v+1}{v^{3}}.
Escolhemos denominador comum v^{3}(v-2) (o produto dos denominadores). Ajustamos cada fração:
\frac{3}{v(v-2)}=\frac{3v^{2}}{v^{3}(v-2)},\qquad \frac{v+1}{v^{3}}=\frac{(v+1)(v-2)}{v^{3}(v-2)}.
Somando numeradores:
\frac{3v^{2}+(v+1)(v-2)}{v^{3}(v-2)}.
Expandindo (v+1)(v-2)=v^{2}-v-2, então
3v^{2}+v^{2}-v-2=4v^{2}-v-2.
Resultado final:
\frac{4v^{2}-v-2}{v^{3}(v-2)}.
Não há fator inteiro comum óbvio para cancelar no numerador.

Passo 8

g) \displaystyle \frac{1}{x-y}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right).
Primeiro simplificamos o parêntese. Para \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x} o denominador comum é xy:
\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}.
Então a expressão fica
\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}.
Reconhecemos que x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y), então podemos cancelar o fator (x-y) (desde que x\neq y):
\frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)xy}=\frac{x+y}{xy}.
Portanto o resultado simplificado é \displaystyle \frac{x+y}{xy}.

Passo 9

h) \displaystyle \frac{(x+a)^{2}-x^{2}}{a}.
Expandimos (x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}. Subtraindo x^{2}:
(x+a)^{2}-x^{2}=2ax+a^{2}=a(2x+a).
Dividindo por a:
\frac{a(2x+a)}{a}=2x+a.
Portanto a expressão simplificada é \displaystyle 2x+a. (Assumindo a\neq 0.)

Passo 10

i) \displaystyle \frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}}{a}.
Primeiro combinamos o numerador (duas frações): denominador comum x(x+a):
\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+a)}{x(x+a)}=\frac{-a}{x(x+a)}.
Agora dividimos isso por a, ou seja multiplicamos pelo inverso de a:
\frac{-a}{x(x+a)}\cdot\frac{1}{a}=\frac{-a}{a\,x(x+a)}=-\frac{1}{x(x+a)}.
Resultado: \displaystyle -\frac{1}{x(x+a)}.

Passo 11

j) \displaystyle \frac{\frac{x-2}{y}}{\frac{z}{x+2}}.
Dividir frações significa multiplicar pela recíproca. Assim:
\frac{x-2}{y}\div\frac{z}{x+2}=\frac{x-2}{y}\cdot\frac{x+2}{z}=\frac{(x-2)(x+2)}{yz}.
E (x-2)(x+2)=x^{2}-4, então
\frac{x^{2}-4}{yz}.
Esse é o resultado simplificado.

Passo 12

k) \displaystyle \frac{\frac{x-4}{y+3}}{\frac{y-3}{x+4}}.
Mesma ideia (multiplicar pela recíproca):
\frac{x-4}{y+3}\cdot\frac{x+4}{y-3}=\frac{(x-4)(x+4)}{(y+3)(y-3)}.
E (x-4)(x+4)=x^{2}-16, (y+3)(y-3)=y^{2}-9. Logo:
\frac{x^{2}-16}{y^{2}-9}.

Passo 13

l) \displaystyle \frac{\frac{a-t}{b-c}}{\frac{b+c}{a+t}}.
Novamente multiplicar pela recíproca:
\frac{a-t}{b-c}\cdot\frac{a+t}{b+c}=\frac{(a-t)(a+t)}{(b-c)(b+c)}.
Usando diferença de quadrados (a-t)(a+t)=a^{2}-t^{2} e (b-c)(b+c)=b^{2}-c^{2}, obtemos:
\frac{a^{2}-t^{2}}{b^{2}-c^{2}}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{nm+n+6}{2n}
b) \displaystyle \frac{xy-4x+3y-2}{5(x+3)}
c) \displaystyle \frac{2x}{x^{2}-4}
d) \displaystyle -\frac{4}{x^{2}-4}
e) \displaystyle \frac{7t+1}{t^{2}}
f) \displaystyle \frac{4v^{2}-v-2}{v^{3}(v-2)}
g) \displaystyle \frac{x+y}{xy}
h) \displaystyle 2x+a
i) \displaystyle -\frac{1}{x(x+a)}
j) \displaystyle \frac{x^{2}-4}{yz}
k) \displaystyle \frac{x^{2}-16}{y^{2}-9}
l) \displaystyle \frac{a^{2}-t^{2}}{b^{2}-c^{2}}

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