Exercício 13 Suponha que o número de falhas X em um sistema de distribuição de energia elétrica de uma cidade em t meses tem função de probabilidades dada por
P(X=k)=c t^k4^k k!, k=0,1,2, ldots
em que t=1,2, ldots é uma constante que representa o número de meses sob observação.
(a) Determine o valor de c em função de t para que a função de probabilidades acima seja válida;
(b) Determine a probabilidade de ocorrerem 3 ou mais curtos-circuitos em 1 ano;
(c) Determine a probabilidade de não ocorrerem falhas no sistema durante um período de 4 meses.

Passo 1

O enunciado diz que para cada t (número de meses) temos
P(X=k)=c,t^k4^k,k!, k=0,1,2,dots
e pede (a) achar c para que isso seja uma distribuição válida (somatório das probabilidades =1), (b) P(X>=3) em um ano ( t=12) e (c) P(X=0) em quatro meses ( t=4). Vamos usar a série de Taylor de e^x e interpretar como Poisson.

Passo 2

Para normalizar, impomos
sumk=0^infty P(X=k) = sumk=0^infty c,t^k4^k,k! = csumk=0^infty(t/4)^kk! = c,e^t/4 =1
Daí
c = e^-,t/4

Passo 3

Substituindo em P(X=k) vemos que
P(X=k) = e^-,t/4,(t/4)^kk!,
ou seja, XsimPoisson(lambda = t/4).

Passo 4

Em um ano temos t=12, logo lambda=12/4=3. Então
P(X>=3) =1-sumk=0^2 e^-33^kk! =1-e^-3l(1+3+3^22!r) =1-e^-3l(1+3+tfrac92r)

Passo 5

Em quatro meses ( t=4) temos lambda=4/4=1. A probabilidade de zero falhas é
P(X=0)=e^-11^00!=e^-1

Resposta

(a) c = e^-,t/4.
(b) P(X>=3)=1-e^-3l(1+3+tfrac92r).
(c) P(X=0 em 4 meses)=e^-1.

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