Exercício 15 Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura
Determine
(a) o valor da constante c para que (f] seja uma f.d.p válida;
(b) a probabilidade de que a distância entre o ponto de ruptura e o ponto médio do cabo exceda 2 metros;
(c) a probabilidade de que a razão entre a maior e a menor distância do ponto ruptura até uma das extremidades seja maior do que 2 ;

Passo 1

O enunciado mostra uma variável contínua
Vamos primeiro achar a constante de normalização . Depois usaremos definição de probabilidade por integração para calcular os itens (b) e (c).

Passo 2

Para normalizar, impomos
integral0^10c,x,dx=1
Como
integral0^10x,dx=10^22=50,
segue
ccdot 50=1 Longrightarrow c=150

Passo 3

Queremos Pl(|X-5|>2r). Esse evento é X<3 ou X>7. Logo
P(X<3)=integral0^3150,x,dx =150cdot3^22 =9100,
P(X>7)=integral7^10150,x,dx =150cdot10^2-7^22 =51100
Somando,
Pl(|X-5|>2r) =9100+51100 =60100 =35

Passo 4

Definimos as distâncias até as extremidades como X e 10-X. Chamamos
maior=maxX,10-X, menor=minX,10-X
Queremos
maxX,10-X/minX,10-X>2.
  • Se X>5, então max=X e min=10-X, e a condição vira
X10-X>2 Long<=ftrightarrow X>2(10-X) Long<=ftrightarrow X>203
  • Se X<5, então max=10-X e min=X, e a condição vira
10-XX>2 Long<=ftrightarrow 10-X>2X Long<=ftrightarrow X<103
Portanto
Pl(tfracmaxmin>2r) =integral0^10/3150x,dx +integral20/3^10150x,dx
Calculando cada pedaço:
integral0^10/3x,dx=12l(103r)^2=509, integral20/3^10x,dx =12l(100-tfrac4009r) =2509
Multiplicando por 1/50 e somando:
P=509cdot150+2509cdot150 =19+59 =69 =23

Resposta

(a) c=150
(b) Pl(|X-5|>2r)=35
(c) P!l(maxX,10-XminX,10-X>2r)=23

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