Exercício 13 Suponha que os tempos de atendimento de clientes em um guichê sejam variáveis aleatórias X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com média \mu=15 min e variância \sigma^{2}=16 \mathrm{~min}^{2}. Defina o tempo médio de atendimento como
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} .
Responda às seguintes questões:
(a) Determine uma expressão para E[\bar{X}] e \operatorname{Var}[\bar{X}] em termos de \mu e \sigma^{2};
(b) Use a Desigualdade de Tchebychev para determinar o menor valor de n para que
P(|\bar{X}-\mu|<1) \geq 0,90
o tempo médio observado na amostra (\bar{X}) difere do tempo médio teórico \mu por menos de 1 min com probabilidade maior ou igual a 0,90 , isto é, \mu \in(\bar{X}-1, \bar{X}+1) com probabilidade de pelo menos 90 \%;
(c) Responda à mesma pergunta anterior usando uma aproximação normal para \bar{X} obtida pelo Teorema Central do Limite.
Passo 1
O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são i.i.d. com E[X_{i}]=\mu=15 e \operatorname{Var}(X_{i})=\sigma^{2}=16. Definimos
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}
e precisamos (a) achar E[\bar{X}] e \operatorname{Var}(\bar{X}); (b) usar Tchebychev para achar o menor n tal que
P\bigl(|\bar{X}-\mu|<1\bigr)\ge0,90;
(c) refazer (b) usando aproximar \bar{X} por normal via Teorema Central do Limite.