Exercício 13 Suponha que os tempos de atendimento de clientes em um guichê sejam variáveis aleatórias X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com média \mu=15 min e variância \sigma^{2}=16 \mathrm{~min}^{2}. Defina o tempo médio de atendimento como
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} .
Responda às seguintes questões:
(a) Determine uma expressão para E[\bar{X}] e \operatorname{Var}[\bar{X}] em termos de \mu e \sigma^{2};
(b) Use a Desigualdade de Tchebychev para determinar o menor valor de n para que
P(|\bar{X}-\mu|<1) \geq 0,90
o tempo médio observado na amostra (\bar{X}) difere do tempo médio teórico \mu por menos de 1 min com probabilidade maior ou igual a 0,90 , isto é, \mu \in(\bar{X}-1, \bar{X}+1) com probabilidade de pelo menos 90 \%;
(c) Responda à mesma pergunta anterior usando uma aproximação normal para \bar{X} obtida pelo Teorema Central do Limite.

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são i.i.d. com E[X_{i}]=\mu=15 e \operatorname{Var}(X_{i})=\sigma^{2}=16. Definimos
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}
e precisamos (a) achar E[\bar{X}] e \operatorname{Var}(\bar{X}); (b) usar Tchebychev para achar o menor n tal que
P\bigl(|\bar{X}-\mu|<1\bigr)\ge0,90;
(c) refazer (b) usando aproximar \bar{X} por normal via Teorema Central do Limite.

Passo 2

Para qualquer soma de variáveis i.i.d. vale
E\bigl(\bar{X}\bigr) =E\Bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\Bigr) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E[X_{i}] =\frac{n\mu}{n} =\mu,
e, por independência,
\operatorname{Var}\bigl(\bar{X}\bigr) =\operatorname{Var}\Bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\Bigr) =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_{i}) =\frac{n\,\sigma^{2}}{n^{2}} =\frac{\sigma^{2}}{n}.

Passo 3

Pela Desigualdade de Tchebychev
P\bigl(|\bar{X}-\mu|\ge1\bigr)\le\frac{\operatorname{Var}(\bar{X})}{1^{2}} =\frac{\sigma^{2}}{n},
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P\bigl(|\bar{X}-\mu|<1\bigr) \ge1-\frac{\sigma^{2}}{n} \ge0,90.
Isso dá
1-\frac{\sigma^{2}}{n}\ge0,90 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sigma^{2}}{n}\le0,10 \quad\Longrightarrow\quad n\ge\frac{\sigma^{2}}{0,10} =\frac{16}{0,10} =160.
Portanto, o menor n é 160.

Passo 4

Pelo Teorema Central do Limite, para n grande
\bar{X}\approx N\Bigl(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\Bigr).
Então
P\bigl(|\bar{X}-\mu|<1\bigr) \approx P\Bigl(\bigl|Z\bigr|<\frac{1}{\sigma/\sqrt{n}}\Bigr) =2\Phi\Bigl(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)-1,
e queremos isso \ge0,90. Seja \Phi^{-1}(0{,}95)=1,645. Fazendo
\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\ge1,645 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n}\ge1,645\cdot\sigma =1,645\cdot4 =6,58 \quad\Longrightarrow\quad n\ge6,58^{2}\approx43,3.
O menor n inteiro é 44.

Resposta

(a) E[\bar{X}]=\mu, \displaystyle \operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
(b) Pelo Tchebychev, n\ge160.
(c) Pela aproximação normal, n\ge44.

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