Exercício 14 Escolha um conjunto adequado para as variáveis livres e determine o valor lógico:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que eu “escolha um conjunto adequado para as variáveis livres e determine o valor lógico”. Vou explicitar o que isso significa e escolher um domínio claro para a variável livre
.
- A equação envolve uma incógnita
. - Uma escolha natural e “adequada” para
ao resolver uma equação quadrática é o conjunto dos números reais , porque as operações de soma, produto e raiz quadrada (no sentido de obter números reais quando possível) estão bem definidas aí. - Portanto vou escolher o domínio
para a variável livre . - O que vamos determinar: para quais
a igualdade é verdadeira; também vou comentar o valor lógico de sentenças com quantificadores (por exemplo e ).
Passo 2
Vamos estudar como resolver uma equação quadrática. A forma padrão de uma quadrática é
onde
,
,
são constantes e
. No nosso caso:
A fórmula geral (fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática) dá as raízes em termos do discriminante
:
e
Explicando:
indica quantas raízes reais existem:
- Se
, há duas raízes reais distintas. - Se
, há uma raiz real dupla. - Se
, não há raízes reais (apenas complexas).
Passo 3
Calcular o discriminante para os nossos coeficientes:
Como
, existe um par de raízes reais distintas. Agora aplico a fórmula quadrática.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Portanto as duas soluções reais são
Para intuição, aproxime
, então
Passo 5
Interpretação em termos de valor lógico (no domínio
):
- Como fórmula com variável livre
, a afirmação não é uma sentença fechada: seu valor de verdade depende do valor de . - A sentença
é verdadeira exatamente quando é uma das duas raízes que encontramos, isto é, quando
- Em termos de quantificadores:
- A sentença existencial
é verdadeira (existem soluções reais). - A sentença universal
é falsa (nem todo real satisfaz a equação).
- A sentença existencial
- Se alguém escolhesse o domínio
(inteiros), a equação não teria solução inteira: portanto, no domínio a fórmula seria falsa para todo e seria falso.
Resposta
Domínio escolhido:
.\n
As soluções da equação são e
.\n
A fórmula é verdadeira sse
.\n
é verdadeira;
é falsa.
As soluções da equação são
A fórmula