Exercício 14 Escolha um conjunto adequado para as variáveis livres e determine o valor lógico:
2 x^{2}+5 x-1=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2x^{2}+5x-1=0
e pede que eu “escolha um conjunto adequado para as variáveis livres e determine o valor lógico”. Vou explicitar o que isso significa e escolher um domínio claro para a variável livre x.
  • A equação envolve uma incógnita x.
  • Uma escolha natural e “adequada” para x ao resolver uma equação quadrática é o conjunto dos números reais \mathbb{R}, porque as operações de soma, produto e raiz quadrada (no sentido de obter números reais quando possível) estão bem definidas aí.
  • Portanto vou escolher o domínio \mathbb{R} para a variável livre x.
  • O que vamos determinar: para quais x\in\mathbb{R} a igualdade é verdadeira; também vou comentar o valor lógico de sentenças com quantificadores (por exemplo \exists x e \forall x).

Passo 2

Vamos estudar como resolver uma equação quadrática. A forma padrão de uma quadrática é
ax^{2}+bx+c=0,
onde a, b, c são constantes e a\neq0. No nosso caso:
a=2,\qquad b=5,\qquad c=-1.
A fórmula geral (fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática) dá as raízes em termos do discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac,
e
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Explicando: \Delta indica quantas raízes reais existem:
  • Se \Delta>0, há duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0, há uma raiz real dupla.
  • Se \Delta<0, não há raízes reais (apenas complexas).

Passo 3

Calcular o discriminante para os nossos coeficientes:
\Delta = 5^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=25-4\cdot2\cdot(-1)=25+8=33.
Como \Delta=33>0, existe um par de raízes reais distintas. Agora aplico a fórmula quadrática.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{4}.
Portanto as duas soluções reais são
x_{1}=\frac{-5+\sqrt{33}}{4},\qquad x_{2}=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}.
Para intuição, aproxime \sqrt{33}\approx 5,74456, então
x_{1}\approx\frac{-5+5,74456}{4}\approx 0,18614,\qquad x_{2}\approx\frac{-5-5,74456}{4}\approx-2,68614.

Passo 5

Interpretação em termos de valor lógico (no domínio \mathbb{R}):
  • Como fórmula com variável livre x, a afirmação 2x^{2}+5x-1=0 não é uma sentença fechada: seu valor de verdade depende do valor de x.
  • A sentença 2x^{2}+5x-1=0 é verdadeira exatamente quando x é uma das duas raízes que encontramos, isto é, quando
x\in\left\{\frac{-5+\sqrt{33}}{4},\;\frac{-5-\sqrt{33}}{4}\right\}.
  • Em termos de quantificadores:
    • A sentença existencial \exists x\in\mathbb{R}\; (2x^{2}+5x-1=0) é verdadeira (existem soluções reais).
    • A sentença universal \forall x\in\mathbb{R}\; (2x^{2}+5x-1=0) é falsa (nem todo real satisfaz a equação).
  • Se alguém escolhesse o domínio \mathbb{Z} (inteiros), a equação não teria solução inteira: portanto, no domínio \mathbb{Z} a fórmula seria falsa para todo x\in\mathbb{Z} e \exists x\in\mathbb{Z} seria falso.

Resposta

Domínio escolhido: \mathbb{R}.\n
As soluções da equação são \displaystyle x=\frac{-5+\sqrt{33}}{4} e \displaystyle x=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}.\n
A fórmula 2x^{2}+5x-1=0 é verdadeira sse x\in\left\{\dfrac{-5+\sqrt{33}}{4},\dfrac{-5-\sqrt{33}}{4}\right\}.\n
\exists x\in\mathbb{R}\; (2x^{2}+5x-1=0) é verdadeira; \forall x\in\mathbb{R}\; (2x^{2}+5x-1=0) é falsa.

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